Страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

179. Найти пятый и первый члены геометрической прогрессии с положительными членами, если:

1) $b_4 = \frac{1}{27}, b_6 = \frac{1}{3};$

2) $b_4 = 36, b_6 = 9.$

1) Дано: $b_4 = \frac{1}{27}$, $b_6 = \frac{1}{3}$.

Для нахождения неизвестных членов геометрической прогрессии сначала найдем ее знаменатель $q$. Воспользуемся формулой $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

В нашем случае $b_6 = b_4 \cdot q^{6-4} = b_4 \cdot q^2$.

Подставим известные значения: $\frac{1}{3} = \frac{1}{27} \cdot q^2$.

Выразим $q^2$: $q^2 = \frac{1/3}{1/27} = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{1} = 9$.

Поскольку по условию задачи все члены прогрессии положительны, ее знаменатель $q$ также должен быть положительным. Следовательно, $q = \sqrt{9} = 3$.

Теперь можем найти пятый член прогрессии $b_5$.

$b_5 = b_4 \cdot q = \frac{1}{27} \cdot 3 = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$.

Для нахождения первого члена $b_1$ воспользуемся формулой n-го члена $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Используя $b_4$: $b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$.

$\frac{1}{27} = b_1 \cdot 3^3$, то есть $\frac{1}{27} = b_1 \cdot 27$.

Отсюда $b_1 = \frac{1}{27 \cdot 27} = \frac{1}{729}$.

Ответ: $b_5 = \frac{1}{9}$, $b_1 = \frac{1}{729}$.

2) Дано: $b_4 = 36$, $b_6 = 9$.

Аналогично первому пункту, найдем знаменатель прогрессии $q$ из соотношения $b_6 = b_4 \cdot q^2$.

Подставим значения: $9 = 36 \cdot q^2$.

Выразим $q^2$: $q^2 = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.

Так как все члены прогрессии положительные, $q > 0$. Следовательно, $q = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Найдем пятый член прогрессии $b_5$.

$b_5 = b_4 \cdot q = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$.

Найдем первый член прогрессии $b_1$ из формулы $b_4 = b_1 \cdot q^3$.

$36 = b_1 \cdot (\frac{1}{2})^3 = b_1 \cdot \frac{1}{8}$.

Отсюда $b_1 = 36 \cdot 8 = 288$.

Ответ: $b_5 = 18$, $b_1 = 288$.

180. Найти сумму $n$ первых членов арифметической прогрессии:

1) 5, 9, 13, ..., если $n=14$;

2) 2, -3, -8, ..., если $n=12$.

1) Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — количество членов.
В заданной прогрессии $5, 9, 13, ...$ первый член $a_1 = 5$.
Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 9 - 5 = 4$.
По условию, количество членов $n = 14$.
Теперь подставим все известные значения в формулу суммы:
$S_{14} = \frac{2 \cdot 5 + 4(14-1)}{2} \cdot 14$
$S_{14} = \frac{10 + 4 \cdot 13}{2} \cdot 14$
$S_{14} = \frac{10 + 52}{2} \cdot 14$
$S_{14} = \frac{62}{2} \cdot 14$
$S_{14} = 31 \cdot 14 = 434$
Ответ: 434

2) Аналогично, используем формулу суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.
Для прогрессии $2, -3, -8, ...$ первый член $a_1 = 2$.
Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = -3 - 2 = -5$.
По условию, количество членов $n = 12$.
Подставим значения в формулу:
$S_{12} = \frac{2 \cdot 2 + (-5)(12-1)}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{4 - 5 \cdot 11}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{4 - 55}{2} \cdot 12$
$S_{12} = \frac{-51}{2} \cdot 12$
$S_{12} = -51 \cdot 6 = -306$
Ответ: -306

181. Найти сумму $n$ первых членов геометрической прогрессии:

1) $-16$, $-4$, $-1$, $\ldots$, если $n = 5$;

2) $\frac{1}{16}$, $-\frac{1}{8}$, $\frac{1}{4}$, $\ldots$, если $n = 6$.

1) Для нахождения суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество членов.

В данной прогрессии: -16, -4, -1, ...

Первый член прогрессии $b_1 = -16$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-4}{-16} = \frac{1}{4}$.

Количество членов, сумму которых нужно найти, $n=5$.

Подставим известные значения в формулу суммы:

$S_5 = \frac{-16(1 - (\frac{1}{4})^5)}{1 - \frac{1}{4}}$

Сначала вычислим степень знаменателя:

$(\frac{1}{4})^5 = \frac{1^5}{4^5} = \frac{1}{1024}$

Теперь вычислим выражения в скобках в числителе и в знаменателе основной дроби:

$1 - \frac{1}{1024} = \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024} = \frac{1023}{1024}$

$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Подставим полученные значения обратно в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{-16 \cdot \frac{1023}{1024}}{\frac{3}{4}} = -16 \cdot \frac{1023}{1024} \cdot \frac{4}{3}$

Сократим полученное выражение:

$S_5 = - \frac{16 \cdot 4 \cdot 1023}{1024 \cdot 3} = - \frac{64 \cdot 1023}{1024 \cdot 3}$

Так как $1024 = 64 \cdot 16$, сократим 64 и 1024:

$S_5 = - \frac{1023}{16 \cdot 3}$

Так как $1023$ делится на $3$ ($1+0+2+3=6$), $1023 \div 3 = 341$:

$S_5 = - \frac{341}{16}$

Ответ: $-\frac{341}{16}$.

2) Используем ту же формулу для суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

В данной прогрессии: $\frac{1}{16}, -\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, ...$

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{16}$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{1}{8}}{\frac{1}{16}} = -\frac{1}{8} \cdot 16 = -2$.

Количество членов, сумму которых нужно найти, $n=6$.

Подставим значения в формулу суммы:

$S_6 = \frac{\frac{1}{16}(1 - (-2)^6)}{1 - (-2)}$

Вычислим степень знаменателя:

$(-2)^6 = 64$

Теперь вычислим выражения в числителе и знаменателе основной дроби:

$1 - 64 = -63$

$1 - (-2) = 1 + 2 = 3$

Подставим полученные значения обратно в формулу для $S_6$:

$S_6 = \frac{\frac{1}{16} \cdot (-63)}{3} = \frac{1}{16} \cdot \frac{-63}{3}$

Сократим дробь $\frac{-63}{3}$:

$\frac{-63}{3} = -21$

Теперь найдем $S_6$:

$S_6 = \frac{1}{16} \cdot (-21) = -\frac{21}{16}$

Ответ: $-\frac{21}{16}$.

182. Найти $a_1$ и $d$ арифметической прогрессии, если:

1) $a_6 = 20, S_6 = 102;$

2) $a_7 = 9, S_7 = 98.$

Для решения задачи будем использовать формулы n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — номер члена прогрессии.

1) Дано: $a_6 = 20$, $S_6 = 102$.

Сначала найдем $a_1$, используя формулу суммы для $S_6$:

$S_6 = \frac{a_1 + a_6}{2} \cdot 6$

Подставим известные значения:

$102 = \frac{a_1 + 20}{2} \cdot 6$

$102 = (a_1 + 20) \cdot 3$

Разделим обе части уравнения на 3:

$34 = a_1 + 20$

Выразим $a_1$:

$a_1 = 34 - 20 = 14$

Теперь, зная $a_1$ и $a_6$, найдем разность прогрессии $d$ из формулы n-го члена:

$a_6 = a_1 + (6-1)d$

$20 = 14 + 5d$

Выразим $5d$:

$5d = 20 - 14$

$5d = 6$

$d = \frac{6}{5} = 1.2$

Ответ: $a_1 = 14$, $d = 1.2$.

2) Дано: $a_7 = 9$, $S_7 = 98$.

Действуем аналогично первому пункту. Найдем $a_1$ из формулы суммы для $S_7$:

$S_7 = \frac{a_1 + a_7}{2} \cdot 7$

Подставим известные значения:

$98 = \frac{a_1 + 9}{2} \cdot 7$

Разделим обе части на 7:

$14 = \frac{a_1 + 9}{2}$

Умножим обе части на 2:

$28 = a_1 + 9$

Выразим $a_1$:

$a_1 = 28 - 9 = 19$

Теперь найдем разность прогрессии $d$ из формулы n-го члена, зная $a_1$ и $a_7$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d$

$9 = 19 + 6d$

Выразим $6d$:

$6d = 9 - 19$

$6d = -10$

$d = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$

Ответ: $a_1 = 19$, $d = -\frac{5}{3}$.

183. Найти $b_1$ геометрической прогрессии, если:

1) $q = \frac{1}{2}$, $S_6 = -15\frac{3}{4}$;

2) $q = -\frac{1}{2}$, $S_5 = 4\frac{1}{8}$.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $b_1$ используется формула суммы первых $n$ членов прогрессии:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Из этой формулы можно выразить $b_1$:

$b_1 = \frac{S_n(1-q)}{1-q^n}$

По условию дано: знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$, сумма первых шести членов $S_6 = -15\frac{3}{4}$, количество членов $n=6$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$S_6 = -15\frac{3}{4} = -\frac{15 \times 4 + 3}{4} = -\frac{63}{4}$

Теперь подставим известные значения в формулу для $b_1$:

$b_1 = \frac{S_6(1-q)}{1-q^6} = \frac{-\frac{63}{4}(1-\frac{1}{2})}{1-(\frac{1}{2})^6}$

Выполним вычисления по шагам.

Вычислим выражение в числителе:

$-\frac{63}{4}(1-\frac{1}{2}) = -\frac{63}{4} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{63}{8}$

Вычислим выражение в знаменателе:

$1-(\frac{1}{2})^6 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{64}{64} - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$

Теперь найдем $b_1$, разделив числитель на знаменатель:

$b_1 = \frac{-\frac{63}{8}}{\frac{63}{64}} = -\frac{63}{8} \cdot \frac{64}{63}$

Сокращаем дроби:

$b_1 = -\frac{64}{8} = -8$

Ответ: $b_1 = -8$.

По условию дано: знаменатель прогрессии $q = -\frac{1}{2}$, сумма первых пяти членов $S_5 = 4\frac{1}{8}$, количество членов $n=5$.

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$S_5 = 4\frac{1}{8} = \frac{4 \times 8 + 1}{8} = \frac{33}{8}$

Подставим известные значения в формулу для $b_1$:

$b_1 = \frac{S_5(1-q)}{1-q^5} = \frac{\frac{33}{8}(1-(-\frac{1}{2}))}{1-(-\frac{1}{2})^5}$

Выполним вычисления по шагам.

Вычислим выражение в числителе:

$\frac{33}{8}(1-(-\frac{1}{2})) = \frac{33}{8}(1+\frac{1}{2}) = \frac{33}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{99}{16}$

Вычислим выражение в знаменателе:

$1-(-\frac{1}{2})^5 = 1 - (-\frac{1}{32}) = 1 + \frac{1}{32} = \frac{32}{32} + \frac{1}{32} = \frac{33}{32}$

Теперь найдем $b_1$, разделив числитель на знаменатель:

$b_1 = \frac{\frac{99}{16}}{\frac{33}{32}} = \frac{99}{16} \cdot \frac{32}{33}$

Сокращаем дроби ($99 = 3 \times 33$ и $32 = 2 \times 16$):

$b_1 = \frac{3 \cdot 33}{16} \cdot \frac{2 \cdot 16}{33} = 3 \cdot 2 = 6$

Ответ: $b_1 = 6$.

184. Найти число n членов геометрической прогрессии, если:

1) $b_1=5, q=-2, S_n=-215;$

2) $b_1=-6, q=2, S_n=-378.$

Для решения задачи используется формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $S_n$ — сумма первых n членов, $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а n — искомое число членов.

1) Дано: $b_1 = 5$, $q = -2$, $S_n = -215$.
Подставим известные значения в формулу:
$-215 = \frac{5((-2)^n - 1)}{-2 - 1}$
Выполним вычисления в знаменателе:
$-215 = \frac{5((-2)^n - 1)}{-3}$
Умножим обе части уравнения на -3:
$(-215) \cdot (-3) = 5((-2)^n - 1)$
$645 = 5((-2)^n - 1)$
Разделим обе части на 5:
$\frac{645}{5} = (-2)^n - 1$
$129 = (-2)^n - 1$
Перенесем -1 в левую часть с противоположным знаком:
$129 + 1 = (-2)^n$
$130 = (-2)^n$
Число членов прогрессии n должно быть натуральным числом. Уравнение $130 = (-2)^n$ не имеет решений в натуральных числах, так как 130 не является целой степенью числа -2 (например, $(-2)^6 = 64$, а $(-2)^8 = 256$; при нечетных n результат будет отрицательным). Следовательно, задача с данными условиями не имеет решения.
Примечание: Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы, например, $b_1 = -5$, то уравнение приняло бы вид $-128 = (-2)^n$, откуда следовало бы, что $n=7$.

Ответ: задача не имеет решения в натуральных числах.

2) Дано: $b_1 = -6$, $q = 2$, $S_n = -378$.
Подставим известные значения в формулу:
$-378 = \frac{-6(2^n - 1)}{2 - 1}$
Упростим знаменатель:
$-378 = \frac{-6(2^n - 1)}{1}$
$-378 = -6(2^n - 1)$
Разделим обе части уравнения на -6:
$\frac{-378}{-6} = 2^n - 1$
$63 = 2^n - 1$
Перенесем -1 в левую часть:
$63 + 1 = 2^n$
$64 = 2^n$
Нам нужно найти такое натуральное число n, что $2^n = 64$.
Так как $2^6 = 64$, то искомое число членов равно 6.

Ответ: $n=6$.

185. В арифметической прогрессии $a_1 = -10$, $d = 0,2$. При каких $n$ выполняется неравенство $a_n < 2$?

В данной задаче рассматривается арифметическая прогрессия с первым членом $a_1 = -10$ и разностью $d = 0,2$. Требуется найти все номера членов прогрессии $n$, для которых выполняется неравенство $a_n < 2$.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим эту формулу в заданное неравенство:

$a_1 + (n-1)d < 2$

Теперь подставим известные значения $a_1 = -10$ и $d = 0,2$ в это неравенство:

$-10 + (n-1) \cdot 0,2 < 2$

Теперь решим это линейное неравенство относительно $n$. Для начала, прибавим 10 к обеим частям неравенства:

$(n-1) \cdot 0,2 < 2 + 10$

$(n-1) \cdot 0,2 < 12$

Разделим обе части неравенства на 0,2. Так как 0,2 - положительное число, знак неравенства сохраняется:

$n-1 < \frac{12}{0,2}$

Выполним деление:

$n-1 < 60$

Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$n < 60 + 1$

$n < 61$

По определению, номер члена прогрессии $n$ является натуральным числом, то есть $n \ge 1$ и $n \in \mathbb{N}$.

Таким образом, мы имеем два условия для $n$: $n < 61$ и $n \ge 1$. Это означает, что $n$ может принимать любые целые значения от 1 до 60 включительно.

Ответ: неравенство выполняется для всех натуральных $n$ от 1 до 60, то есть при $1 \le n \le 60$.

186. Найти сумму первых шести членов арифметической прогрессии, если $a_6 = -10$, $a_{16} = -6$.

Для решения задачи требуется найти сумму первых шести членов арифметической прогрессии, обозначаемую как $S_6$. Из условия нам известны два члена этой прогрессии: шестой член $a_6 = -10$ и шестнадцатый член $a_{16} = -6$.

1. Нахождение разности прогрессии (d)
Разность арифметической прогрессии $d$ можно найти, используя формулу, связывающую два любых ее члена: $a_n = a_m + (n-m)d$.
Подставим в эту формулу известные нам значения $a_{16}$ и $a_6$:
$a_{16} = a_6 + (16-6)d$
$-6 = -10 + 10d$
Перенесем -10 в левую часть уравнения:
$10 - 6 = 10d$
$4 = 10d$
Отсюда находим $d$:
$d = \frac{4}{10} = 0.4$

2. Нахождение первого члена прогрессии ($a_1$)
Теперь, зная разность $d$ и шестой член $a_6$, мы можем найти первый член прогрессии $a_1$ по формуле n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Применим формулу для $n=6$:
$a_6 = a_1 + (6-1)d$
$-10 = a_1 + 5d$
Подставим найденное значение $d=0.4$:
$-10 = a_1 + 5 \cdot 0.4$
$-10 = a_1 + 2$
$a_1 = -10 - 2$
$a_1 = -12$

3. Вычисление суммы первых шести членов ($S_6$)
Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Нам нужно найти сумму первых шести членов ($n=6$). У нас есть все необходимые данные: $a_1 = -12$ и $a_6 = -10$.
$S_6 = \frac{a_1 + a_6}{2} \cdot 6$
$S_6 = \frac{-12 + (-10)}{2} \cdot 6$
$S_6 = \frac{-22}{2} \cdot 6$
$S_6 = -11 \cdot 6$
$S_6 = -66$

Ответ: -66.

187. Найти сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого члена по двадцать пятый включительно, если $a_n = 2n + 3$.

Задача состоит в том, чтобы найти сумму членов арифметической прогрессии с 15-го по 25-й включительно. Общий член прогрессии задан формулой $a_n = 2n + 3$.

Искомая сумма представляет собой сумму конечной арифметической прогрессии. Для ее вычисления можно использовать формулу суммы арифметической прогрессии: $S = \frac{\text{первый член} + \text{последний член}}{2} \cdot (\text{количество членов})$

Для применения этой формулы нам необходимо найти три величины: значение первого члена в сумме ($a_{15}$), значение последнего члена ($a_{25}$) и общее количество суммируемых членов.

1. Найдем количество членов, сумму которых нужно вычислить. Это все члены с номера 15 по 25 включительно:
Количество членов $n = 25 - 15 + 1 = 11$.

2. Найдем значение первого и последнего членов в искомой последовательности, используя заданную формулу $a_n = 2n + 3$:
Первый член (пятнадцатый): $a_{15} = 2 \cdot 15 + 3 = 30 + 3 = 33$.
Последний член (двадцать пятый): $a_{25} = 2 \cdot 25 + 3 = 50 + 3 = 53$.

3. Теперь подставим все найденные значения в формулу суммы:
$S = \frac{a_{15} + a_{25}}{2} \cdot n = \frac{33 + 53}{2} \cdot 11$

4. Вычислим итоговый результат:
$S = \frac{86}{2} \cdot 11 = 43 \cdot 11 = 473$

Также эту задачу можно решить, найдя сумму первых 25 членов ($S_{25}$) и вычтя из нее сумму первых 14 членов ($S_{14}$).
$a_1 = 2(1) + 3 = 5$. Разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = (2 \cdot 2 + 3) - 5 = 7 - 5 = 2$.
$S_{25} = \frac{2a_1 + d(25-1)}{2} \cdot 25 = \frac{2 \cdot 5 + 2 \cdot 24}{2} \cdot 25 = \frac{10 + 48}{2} \cdot 25 = 29 \cdot 25 = 725$.
$S_{14} = \frac{2a_1 + d(14-1)}{2} \cdot 14 = \frac{2 \cdot 5 + 2 \cdot 13}{2} \cdot 14 = \frac{10 + 26}{2} \cdot 14 = 18 \cdot 14 = 252$.
Искомая сумма: $S = S_{25} - S_{14} = 725 - 252 = 473$.
Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 473.

188. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если $b_n = -4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, необходимо сначала определить ее первый член $b_1$ и знаменатель $q$, а затем использовать соответствующую формулу суммы.

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — ее знаменатель.

В условии задачи дана формула для n-го члена: $b_n = -4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Сравнивая эти две формулы, мы можем определить параметры нашей прогрессии:

Первый член прогрессии $b_1 = -4$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$.

Далее, воспользуемся формулой для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$):

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Нам требуется найти сумму первых пяти членов, следовательно, $n=5$. Подставим известные значения $b_1 = -4$, $q = \frac{1}{2}$ и $n=5$ в формулу суммы:

$S_5 = \frac{-4 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{2}}$

Теперь проведем вычисления по шагам:

1. Найдем значение $q^n$:

$\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$

2. Вычислим значение выражения в скобках в числителе:

$1 - \frac{1}{32} = \frac{32}{32} - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$

3. Вычислим значение знаменателя дроби:

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

4. Подставим полученные значения обратно в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{-4 \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}}$

5. Упростим полученное выражение. Деление на дробь $\frac{1}{2}$ равносильно умножению на 2:

$S_5 = -4 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2 = -\frac{4 \cdot 31 \cdot 2}{32} = -\frac{8 \cdot 31}{32}$

6. Сократим дробь на 8:

$S_5 = -\frac{31}{4}$

Этот результат можно также записать в виде смешанного числа $-7\frac{3}{4}$ или десятичной дроби $-7.75$.

Ответ: $-\frac{31}{4}$.

189. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма первого и четвёртого членов равна 27, а сумма второго и третьего членов равна 18.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а знаменатель как $q$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, имеем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} b_1 + b_4 = 27 \\ b_2 + b_3 = 18\end{cases}$

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

$b_4 = b_1 \cdot q^3$

Подставим эти выражения в систему уравнений:

$\begin{cases} b_1 + b_1 \cdot q^3 = 27 \\ b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^2 = 18\end{cases}$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} b_1(1 + q^3) = 27 & (1) \\ b_1 q(1 + q) = 18 & (2)\end{cases}$

Разделим уравнение (1) на уравнение (2). Заметим, что $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$, иначе суммы не были бы равны 27 и 18. Также $q \neq -1$, иначе левая часть второго уравнения была бы равна нулю.

$\frac{b_1(1 + q^3)}{b_1 q(1 + q)} = \frac{27}{18}$

Сократим $b_1$ и дробь в правой части:

$\frac{1 + q^3}{q(1 + q)} = \frac{3}{2}$

Используем формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, поэтому $1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2)$:

$\frac{(1 + q)(1 - q + q^2)}{q(1 + q)} = \frac{3}{2}$

Сократим множитель $(1 + q)$:

$\frac{1 - q + q^2}{q} = \frac{3}{2}$

Решим полученное уравнение относительно $q$. Умножим обе части на $2q$:

$2(1 - q + q^2) = 3q$

$2 - 2q + 2q^2 = 3q$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$2q^2 - 5q + 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения для $q$:

$q_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$q_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Получили два возможных значения для знаменателя прогрессии. Для каждого из них найдем соответствующий первый член $b_1$, используя уравнение (2): $b_1 q(1 + q) = 18$.

Случай 1: $q = 2$

Подставим $q=2$ в уравнение:

$b_1 \cdot 2(1 + 2) = 18$

$b_1 \cdot 2 \cdot 3 = 18$

$6b_1 = 18$

$b_1 = 3$

Первая пара решений: первый член $b_1 = 3$, знаменатель $q = 2$.

Случай 2: $q = \frac{1}{2}$

Подставим $q=1/2$ в уравнение:

$b_1 \cdot \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2}) = 18$

$b_1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = 18$

$b_1 \cdot \frac{3}{4} = 18$

$b_1 = 18 \cdot \frac{4}{3} = 24$

Вторая пара решений: первый член $b_1 = 24$, знаменатель $q = \frac{1}{2}$.

Проверка:

Для $b_1 = 3, q = 2$ члены прогрессии: 3, 6, 12, 24. Сумма $b_1+b_4 = 3+24=27$, сумма $b_2+b_3 = 6+12=18$. Условия выполнены.

Для $b_1 = 24, q = \frac{1}{2}$ члены прогрессии: 24, 12, 6, 3. Сумма $b_1+b_4 = 24+3=27$, сумма $b_2+b_3 = 12+6=18$. Условия выполнены.

Ответ: первый член равен 3 и знаменатель равен 2, или первый член равен 24 и знаменатель равен $\frac{1}{2}$.

190. Три различных числа $x, y, z$ образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а числа $x, 2y, 3z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии.

По условию, три различных числа $x, y, z$ образуют геометрическую прогрессию. Обозначим знаменатель этой прогрессии буквой $q$. Тогда, по определению геометрической прогрессии, её члены связаны следующими соотношениями:
$y = xq$
$z = yq = (xq)q = xq^2$

В условии сказано, что числа $x, y, z$ различны. Это накладывает ограничение на знаменатель $q$. Если бы $q=1$, то $y = x \cdot 1 = x$ и $z = x \cdot 1^2 = x$, то есть все три числа были бы равны. Это противоречит условию, следовательно, $q \neq 1$. Также стоит отметить, что если $x=0$, то и $y=0$, $z=0$, что также противоречит условию о различных числах, поэтому $x \neq 0$.

Также по условию числа $x, 2y, 3z$ образуют арифметическую прогрессию. Характеристическое свойство арифметической прогрессии гласит, что каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и последующего членов. В данном случае это означает, что второй член $2y$ является средним арифметическим первого ($x$) и третьего ($3z$) членов:
$2y = \frac{x + 3z}{2}$

Умножим обе части этого равенства на 2, чтобы избавиться от дроби:
$4y = x + 3z$

Теперь в это уравнение подставим выражения для $y$ и $z$ через $x$ и $q$, которые мы получили из свойства геометрической прогрессии:
$4(xq) = x + 3(xq^2)$

Поскольку $x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x$:
$4q = 1 + 3q^2$

Перенесём все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно $q$:
$3q^2 - 4q + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$
Теперь найдем корни уравнения:
$q_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$q_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$

Мы получили два возможных значения для знаменателя $q$: $\frac{1}{3}$ и $1$. Как мы установили в самом начале, значение $q=1$ не подходит, так как в этом случае числа $x, y, z$ не были бы различными.
Следовательно, единственно верным решением является $q = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

191. Три числа, сумма которых равна 78, образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Эти же три числа являются первым, третьим и девятым членами некоторой арифметической прогрессии. Найти большее из этих чисел.

Пусть три искомых числа, образующие возрастающую геометрическую прогрессию, равны $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Обозначим первый член этой прогрессии как $b$, а знаменатель как $q$. Так как прогрессия возрастающая, то $q > 1$. Тогда эти числа можно записать в виде: $b$, $bq$, $bq^2$.

По первому условию задачи, сумма этих чисел равна 78: $b + bq + bq^2 = 78$
Вынесем $b$ за скобки: $b(1 + q + q^2) = 78$ (1)

По второму условию, эти же три числа являются первым, третьим и девятым членами некоторой арифметической прогрессии. Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а ее разность как $d$. Тогда:
$b_1 = b = a_1$
$b_2 = bq = a_3 = a_1 + 2d$
$b_3 = bq^2 = a_9 = a_1 + 8d$

Используем свойство членов арифметической прогрессии. Разность между $a_3$ и $a_1$ равна $2d$, а разность между $a_9$ и $a_3$ равна $6d$.
$a_3 - a_1 = (a_1 + 2d) - a_1 = 2d$
$a_9 - a_3 = (a_1 + 8d) - (a_1 + 2d) = 6d$

Отсюда следует, что $(a_9 - a_3) = 3(a_3 - a_1)$.
Теперь подставим в это соотношение наши числа из геометрической прогрессии:
$bq^2 - bq = 3(bq - b)$

Вынесем общие множители за скобки в левой и правой частях уравнения:
$bq(q - 1) = 3b(q - 1)$

Поскольку геометрическая прогрессия является возрастающей, ее знаменатель $q \ne 1$, а первый член $b$ не может быть равен нулю (иначе все числа были бы нулями, а их сумма не равнялась бы 78). Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $b(q-1)$:
$q = 3$

Теперь, зная знаменатель геометрической прогрессии, мы можем найти ее первый член, подставив значение $q=3$ в уравнение (1):
$b(1 + 3 + 3^2) = 78$
$b(1 + 3 + 9) = 78$
$b(13) = 78$
$b = \frac{78}{13}$
$b = 6$

Теперь найдем все три числа:
Первое число: $b_1 = b = 6$
Второе число: $b_2 = bq = 6 \times 3 = 18$
Третье число: $b_3 = bq^2 = 6 \times 3^2 = 6 \times 9 = 54$

Таким образом, мы получили числа 6, 18, 54. Проверим, удовлетворяют ли они условиям задачи.
1. Сумма чисел: $6 + 18 + 54 = 78$. Условие выполнено.
2. Это возрастающая геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{18}{6} = \frac{54}{18} = 3$. Условие выполнено.
3. Являются ли они первым, третьим и девятым членами арифметической прогрессии? Пусть $a_1 = 6$. Тогда $a_3 = 18$, откуда $a_1 + 2d = 18 \Rightarrow 6 + 2d = 18 \Rightarrow 2d = 12 \Rightarrow d = 6$. Проверим девятый член: $a_9 = a_1 + 8d = 6 + 8 \times 6 = 6 + 48 = 54$. Условие выполнено.

Все условия задачи выполнены. Искомые числа: 6, 18, 54. Наибольшее из этих чисел — 54.

Ответ: 54

192. Клиент коммерческого банка положил на 4 года под 8% годовых 200 000 рублей. Какую сумму он получит по истечении указанного срока?

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов, поскольку проценты начисляются ежегодно не только на первоначальную сумму, но и на уже начисленные за предыдущие периоды проценты.

Формула для расчета итоговой суммы $A$ (future value) при вкладе со сложными процентами выглядит так:

$A = P \cdot (1 + r)^t$

где:

$P$ — первоначальная сумма вклада (principal), в данном случае $200\ 000$ рублей.

$r$ — годовая процентная ставка, выраженная в виде десятичной дроби. В задаче ставка составляет $8\%$, что равно $8/100 = 0.08$.

$t$ — количество лет (периодов начисления), в данном случае $4$ года.

Подставим значения в формулу:

$A = 200\ 000 \cdot (1 + 0.08)^4$

Сначала вычислим выражение в скобках:

$1 + 0.08 = 1.08$

Теперь возведем это значение в степень, равную количеству лет:

$(1.08)^4 = 1.08 \cdot 1.08 \cdot 1.08 \cdot 1.08 \approx 1.36048896$

Наконец, умножим первоначальную сумму на полученный коэффициент:

$A = 200\ 000 \cdot 1.36048896 = 272\ 097.792$

Округлим полученную сумму до сотых (до копеек), так как это денежная величина.

$A \approx 272\ 097.79$ рублей.

Ответ: 272 097,79 рублей.

193. Популяция некоторого микроба увеличивается ежедневно на $20\%$. Какое количество микробов станет в исследуемой колонии через неделю, если изначально их там было $10^6$?

Для решения этой задачи используется формула экспоненциального роста, так как популяция увеличивается на определенный процент от своего текущего значения каждый день.

Определим исходные данные:
Начальное количество микробов, $N_0 = 10^6$.
Ежедневный прирост, $r = 20\%$, что в десятичной форме равно $0.2$.
Период времени, $t = 1 \text{ неделя} = 7 \text{ дней}$.

Формула для расчета количества популяции $N(t)$ через время $t$ выглядит следующим образом:
$N(t) = N_0 \cdot (1 + r)^t$

Каждый день количество микробов умножается на коэффициент, равный $1 + r = 1 + 0.2 = 1.2$. Чтобы найти количество микробов через 7 дней, нужно возвести этот коэффициент в 7-ю степень и умножить на начальное количество.

Подставим известные значения в формулу:
$N(7) = 10^6 \cdot (1.2)^7$

Теперь выполним вычисление степени:
$(1.2)^7 = 1.2 \times 1.2 \times 1.2 \times 1.2 \times 1.2 \times 1.2 \times 1.2 \approx 3.5831808$

Далее найдем конечное количество микробов, умножив полученное значение на начальную популяцию:
$N(7) = 10^6 \cdot 3.5831808 = 3\,583\,180.8$

Поскольку количество микробов должно быть целым числом, округляем полученный результат до ближайшего целого.

Ответ: $10^6 \cdot (1.2)^7 \approx 3\,583\,181$ микроб.