Страница 58 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

169. Последовательность задана формулой $a_n = n^2 + 1$. Найти $a_5$ и $a_7$. Выяснить, являются ли числа 122; 92 членами этой последовательности.

Последовательность задана формулой общего члена $a_n = n^2 + 1$, где $n$ — номер члена последовательности, являющийся натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Найти $a_5$ и $a_7$

Чтобы найти пятый член последовательности ($a_5$), подставим в формулу значение $n=5$:
$a_5 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$.

Чтобы найти седьмой член последовательности ($a_7$), подставим в формулу значение $n=7$:
$a_7 = 7^2 + 1 = 49 + 1 = 50$.

Ответ: $a_5 = 26$, $a_7 = 50$.

Выяснить, являются ли числа 122; 92 членами этой последовательности

Чтобы определить, является ли число членом последовательности, необходимо проверить, существует ли натуральное число $n$, при котором формула $a_n = n^2 + 1$ даст это число.

Проверка для числа 122:
Предположим, что 122 является членом последовательности с номером $n$. Тогда должно выполняться равенство: $a_n = 122$
$n^2 + 1 = 122$
$n^2 = 122 - 1$
$n^2 = 121$
$n = \sqrt{121}$
$n = 11$
Поскольку мы получили натуральное число $n=11$, это означает, что число 122 является 11-м членом данной последовательности.

Проверка для числа 92:
Предположим, что 92 является членом последовательности с номером $n$. Тогда должно выполняться равенство: $a_n = 92$
$n^2 + 1 = 92$
$n^2 = 92 - 1$
$n^2 = 91$
$n = \sqrt{91}$
Число 91 не является полным квадратом ($9^2 = 81$, а $10^2 = 100$), поэтому $\sqrt{91}$ не является целым числом. Следовательно, не существует натурального номера $n$, для которого член последовательности был бы равен 92.

Ответ: число 122 является членом последовательности, а число 92 не является.

170. Числовая последовательность задана рекуррентной формулой $x_{n+1}=3x_n+2$ и условием $x_1=\frac{1}{9}$. Записать первые четыре члена этой последовательности.

Для того чтобы найти первые четыре члена последовательности, заданной рекуррентной формулой $x_{n+1} = 3x_n + 2$ и начальным условием $x_1 = \frac{1}{9}$, мы будем последовательно вычислять каждый следующий член, используя значение предыдущего.

Первый член последовательности нам уже дан по условию:
$x_1 = \frac{1}{9}$

Чтобы найти второй член ($x_2$), подставим в формулу $n=1$ и значение $x_1$:
$x_2 = 3x_1 + 2 = 3 \cdot \frac{1}{9} + 2 = \frac{3}{9} + 2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3}$

Чтобы найти третий член ($x_3$), подставим в формулу $n=2$ и найденное значение $x_2$:
$x_3 = 3x_2 + 2 = 3 \cdot \frac{7}{3} + 2 = 7 + 2 = 9$

Чтобы найти четвертый член ($x_4$), подставим в формулу $n=3$ и найденное значение $x_3$:
$x_4 = 3x_3 + 2 = 3 \cdot 9 + 2 = 27 + 2 = 29$

Таким образом, первые четыре члена последовательности: $\frac{1}{9}$, $\frac{7}{3}$, $9$ и $29$.

Ответ: $\frac{1}{9}, \frac{7}{3}, 9, 29$.

171. Найти первые пять членов:

1) арифметической прогрессии, у которой $a_1=0.1$, $d=-0.2$;

2) геометрической прогрессии, у которой $b_1=0.1$, $q=-0.2$.

1) Для нахождения членов арифметической прогрессии используется формула $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена. Также каждый последующий член можно найти, прибавив к предыдущему разность прогрессии: $a_{n+1} = a_n + d$.

По условию дано: $a_1 = 0,1$ и $d = -0,2$.

Найдем первые пять членов прогрессии последовательно:

Первый член задан: $a_1 = 0,1$.

Второй член: $a_2 = a_1 + d = 0,1 + (-0,2) = 0,1 - 0,2 = -0,1$.

Третий член: $a_3 = a_2 + d = -0,1 + (-0,2) = -0,1 - 0,2 = -0,3$.

Четвертый член: $a_4 = a_3 + d = -0,3 + (-0,2) = -0,3 - 0,2 = -0,5$.

Пятый член: $a_5 = a_4 + d = -0,5 + (-0,2) = -0,5 - 0,2 = -0,7$.

Таким образом, первые пять членов данной арифметической прогрессии равны: 0,1; -0,1; -0,3; -0,5; -0,7.

Ответ: 0,1; -0,1; -0,3; -0,5; -0,7.

2) Для нахождения членов геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер члена. Также каждый последующий член можно найти, умножив предыдущий на знаменатель прогрессии: $b_{n+1} = b_n \cdot q$.

По условию дано: $b_1 = 0,1$ и $q = -0,2$.

Найдем первые пять членов прогрессии последовательно:

Первый член задан: $b_1 = 0,1$.

Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = 0,1 \cdot (-0,2) = -0,02$.

Третий член: $b_3 = b_2 \cdot q = -0,02 \cdot (-0,2) = 0,004$.

Четвертый член: $b_4 = b_3 \cdot q = 0,004 \cdot (-0,2) = -0,0008$.

Пятый член: $b_5 = b_4 \cdot q = -0,0008 \cdot (-0,2) = 0,00016$.

Таким образом, первые пять членов данной геометрической прогрессии равны: 0,1; -0,02; 0,004; -0,0008; 0,00016.

Ответ: 0,1; -0,02; 0,004; -0,0008; 0,00016.

172. Дана арифметическая прогрессия $a_1, a_2, a_3, \dots$. Найти:

1) $a_8$, если $a_1 = -3$, $d = 5$;

2) $a_{15}$, если $a_1 = 4$, $d = -0.5$.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_n$ – n-й член прогрессии, который мы хотим найти, $a_1$ – первый член прогрессии, $n$ – порядковый номер искомого члена, $d$ – разность арифметической прогрессии.

1) Найти $a_8$, если $a_1 = -3$, $d = 5$.

Здесь $n=8$, $a_1=-3$, $d=5$.

Подставим эти значения в формулу:

$a_8 = -3 + (8-1) \times 5$

Выполним вычисления:

$a_8 = -3 + 7 \times 5$

$a_8 = -3 + 35$

$a_8 = 32$

Ответ: 32.

2) Найти $a_{15}$, если $a_1 = 4$, $d = -0.5$.

В этом случае $n=15$, $a_1=4$, $d=-0.5$.

Подставим значения в ту же формулу:

$a_{15} = 4 + (15-1) \times (-0.5)$

Выполним вычисления:

$a_{15} = 4 + 14 \times (-0.5)$

$a_{15} = 4 - 7$

$a_{15} = -3$

Ответ: -3.

173. Дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, b_3, \dots$. Найти:

1) $b_6$, если $b_1 = 100$, $q = -0,1$;

2) $b_{50}$, если $b_1 = -27$, $q = -1$.

1) Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.
По условию дано: $b_1 = 100$, $q = -0,1$. Нам нужно найти шестой член прогрессии, то есть $n=6$.
Подставим данные значения в формулу:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$
$b_6 = 100 \cdot (-0,1)^5$
Вычислим степень:
$(-0,1)^5 = (-1)^5 \cdot (0,1)^5 = -1 \cdot 0,00001 = -0,00001$
Теперь найдем значение $b_6$:
$b_6 = 100 \cdot (-0,00001) = -0,001$
Ответ: -0,001

2) Аналогично используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
По условию дано: $b_1 = -27$, $q = -1$. Нам нужно найти пятидесятый член прогрессии, то есть $n=50$.
Подставим данные значения в формулу:
$b_{50} = b_1 \cdot q^{50-1} = b_1 \cdot q^{49}$
$b_{50} = -27 \cdot (-1)^{49}$
Поскольку 49 — нечетное число, то $(-1)$ в 49-й степени будет равен $-1$:
$(-1)^{49} = -1$
Теперь найдем значение $b_{50}$:
$b_{50} = -27 \cdot (-1) = 27$
Ответ: 27

174. Найти разность арифметической прогрессии, если:

1) $a_1 = 15, a_8 = -6;$

2) $a_1 = -3, a_{11} = 2.$

1) Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Из этой формулы выразим искомую разность $d$:
$d = \frac{a_n - a_1}{n-1}$
По условию задачи даны первый и восьмой члены прогрессии: $a_1 = 15$ и $a_8 = -6$. Следовательно, $n=8$.
Подставим эти значения в формулу:
$d = \frac{a_8 - a_1}{8-1} = \frac{-6 - 15}{7} = \frac{-21}{7} = -3$.
Ответ: -3

2) Используем ту же самую формулу для нахождения разности арифметической прогрессии: $d = \frac{a_n - a_1}{n-1}$.
В этом случае нам известны первый и одиннадцатый члены: $a_1 = -3$ и $a_{11} = 2$. Значит, $n=11$.
Подставим данные значения в формулу:
$d = \frac{a_{11} - a_1}{11-1} = \frac{2 - (-3)}{10} = \frac{2 + 3}{10} = \frac{5}{10} = 0,5$.
Ответ: 0,5

175. Найти знаменатель геометрической прогрессии, если:

1) $b_1 = -\frac{1}{32}, b_4 = \frac{1}{4}$;

2) $b_1 = -50, b_5 = -0,08$.

1)

Чтобы найти знаменатель $q$ геометрической прогрессии, воспользуемся формулой n-го члена прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Из условия задачи известны первый член $b_1 = -\frac{1}{32}$ и четвертый член $b_4 = \frac{1}{4}$.

Подставим эти значения в формулу для $n=4$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$
$\frac{1}{4} = -\frac{1}{32} \cdot q^3$

Теперь выразим из этого уравнения $q^3$:
$q^3 = \frac{1}{4} : \left(-\frac{1}{32}\right)$
$q^3 = \frac{1}{4} \cdot (-32)$
$q^3 = -\frac{32}{4}$
$q^3 = -8$

Найдем $q$, извлекая кубический корень из -8:
$q = \sqrt[3]{-8}$
$q = -2$

Ответ: -2

2)

Аналогично первому пункту, используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию даны первый член $b_1 = -50$ и пятый член $b_5 = -0,08$.

Подставим известные значения в формулу для $n=5$:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$-0,08 = -50 \cdot q^4$

Выразим из этого уравнения $q^4$:
$q^4 = \frac{-0,08}{-50}$
$q^4 = \frac{0,08}{50}$
$q^4 = 0,0016$

Можно также представить десятичные дроби в виде обыкновенных для удобства:
$q^4 = \frac{8/100}{50} = \frac{8}{100 \cdot 50} = \frac{8}{5000} = \frac{1}{625}$

Теперь найдем $q$, извлекая корень четвертой степени. Поскольку степень корня (4) четная, у уравнения будет два действительных решения (положительное и отрицательное).
$q = \pm\sqrt[4]{\frac{1}{625}}$
Так как $5^4 = 625$, то $\sqrt[4]{\frac{1}{625}} = \frac{1}{5}$.
$q = \pm\frac{1}{5}$

В десятичной форме это записывается как $q = \pm0,2$.

Ответ: $\pm\frac{1}{5}$ (или $\pm0,2$)

176. Разность арифметической прогрессии равна $-2,5$. Найти $a_1$, если $a_{12} = 14,5$.

176. Для нахождения первого члена арифметической прогрессии ($a_1$) воспользуемся формулой n-го члена:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
где $a_n$ — n-й член прогрессии, $d$ — ее разность, а $n$ — порядковый номер члена.

По условию задачи нам известны:
Разность прогрессии: $d = -2,5$.
Двенадцатый член прогрессии: $a_{12} = 14,5$.
Порядковый номер члена: $n = 12$.

Подставим известные значения в формулу и выразим $a_1$:
$a_{12} = a_1 + (12-1) \cdot d$
$14,5 = a_1 + 11 \cdot (-2,5)$
$14,5 = a_1 - 27,5$

Теперь найдем $a_1$, перенеся $-27,5$ в левую часть уравнения с противоположным знаком:
$a_1 = 14,5 + 27,5$
$a_1 = 42$
Ответ: 42.

177. Знаменатель геометрической прогрессии равен 0,4. Найти $b_1$, если $b_5 = 3,2$.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии ($b_1$) воспользуемся формулой n-го члена:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

где $b_n$ — n-й член прогрессии, $b_1$ — её первый член, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — порядковый номер члена.

Из условия задачи нам известно:

Знаменатель прогрессии: $q = 0,4$

Пятый член прогрессии: $b_5 = 3,2$

Порядковый номер члена: $n = 5$

Подставим известные значения в формулу n-го члена:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$

$3,2 = b_1 \cdot (0,4)^4$

Теперь необходимо выразить $b_1$ из этого уравнения. Для этого разделим обе части на $(0,4)^4$:

$b_1 = \frac{3,2}{(0,4)^4}$

Сначала вычислим значение знаменателя дроби, $(0,4)^4$:

$(0,4)^4 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 \cdot 0,16 = 0,0256$

Теперь подставим это значение обратно в уравнение для $b_1$:

$b_1 = \frac{3,2}{0,0256}$

Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10000:

$b_1 = \frac{3,2 \cdot 10000}{0,0256 \cdot 10000} = \frac{32000}{256}$

Выполним деление:

$b_1 = 125$

Ответ: 125

178. Найти двенадцатый и первый члены арифметической прогрессии, если:

1) $a_{11} = 13, a_{13} = 7;$

2) $a_{11} = -14, a_{13} = -6.$

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Также полезным будет свойство, что любой член арифметической прогрессии является средним арифметическим его соседних членов: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$.

Дано: $a_{11} = 13$, $a_{13} = 7$.

Сначала найдем двенадцатый член прогрессии, $a_{12}$. Так как члены $a_{11}$, $a_{12}$, $a_{13}$ являются последовательными, $a_{12}$ будет их средним арифметическим:

$a_{12} = \frac{a_{11} + a_{13}}{2} = \frac{13 + 7}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Теперь найдем разность арифметической прогрессии $d$. Разность можно найти как разницу между любыми двумя последовательными членами:

$d = a_{12} - a_{11} = 10 - 13 = -3$.

Либо используя формулу $a_m = a_n + (m-n)d$:

$a_{13} = a_{11} + (13-11)d$

$7 = 13 + 2d$

$2d = 7 - 13$

$2d = -6$

$d = -3$.

Теперь, зная разность $d$ и одиннадцатый член $a_{11}$, мы можем найти первый член прогрессии $a_1$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:

$a_{11} = a_1 + (11-1)d$

$13 = a_1 + 10 \cdot (-3)$

$13 = a_1 - 30$

$a_1 = 13 + 30 = 43$.

Таким образом, двенадцатый член прогрессии равен 10, а первый член равен 43.

Ответ: $a_{12} = 10$, $a_1 = 43$.

Дано: $a_{11} = -14$, $a_{13} = -6$.

Аналогично первому пункту, найдем двенадцатый член прогрессии $a_{12}$ как среднее арифметическое $a_{11}$ и $a_{13}$:

$a_{12} = \frac{a_{11} + a_{13}}{2} = \frac{-14 + (-6)}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.

Найдем разность арифметической прогрессии $d$:

$d = a_{12} - a_{11} = -10 - (-14) = -10 + 14 = 4$.

Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$, используя $a_{11}$ и $d$:

$a_{11} = a_1 + (11-1)d$

$-14 = a_1 + 10 \cdot 4$

$-14 = a_1 + 40$

$a_1 = -14 - 40 = -54$.

Таким образом, двенадцатый член прогрессии равен -10, а первый член равен -54.

Ответ: $a_{12} = -10$, $a_1 = -54$.