Страница 55 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

159. Найти область определения функции:

1) $y = \frac{2x-1}{x^2-5x+6}$;

2) $y = \frac{5-x}{2x^2+3x-2}$;

3) $y = \sqrt{3x+1}$;

4) $y = \sqrt{7-3x}$;

5) $y = \frac{3}{\sqrt{x-5}}$;

6) $y = \frac{12}{\sqrt{8+x}}$;

7) $y = \sqrt{x}+\sqrt{3-x}$;

8) $y = \sqrt{x-7-\sqrt{x}}$.

1) Область определения функции – это все значения переменной $x$, при которых выражение имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение:
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Следовательно, область определения функции – это все действительные числа, кроме $x=2$ и $x=3$.
Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Функция является дробно-рациональной, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю. Найдем недопустимые значения $x$, решив уравнение:
$2x^2 + 3x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, область определения – все действительные числа, за исключением $-2$ и $\frac{1}{2}$.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

3) Данная функция содержит квадратный корень. Область определения функции находится из условия, что выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.
$3x + 1 \ge 0$
$3x \ge -1$
$x \ge -\frac{1}{3}$
Ответ: $[-\frac{1}{3}; +\infty)$.

4) Выражение под знаком квадратного корня должно быть больше или равно нулю. Решим неравенство:
$7 - 3x \ge 0$
$7 \ge 3x$
$x \le \frac{7}{3}$
Ответ: $(-\infty; \frac{7}{3}]$.

5) В данной функции квадратный корень находится в знаменателе. Это накладывает двойное ограничение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным (из-за корня) и не равным нулю (из-за знаменателя). Объединив эти условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
$x - 5 > 0$
$x > 5$
Ответ: $(5; +\infty)$.

6) По аналогии с предыдущим примером, квадратный корень находится в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным.
$8 + x > 0$
$x > -8$
Ответ: $(-8; +\infty)$.

7) Функция представляет собой сумму двух квадратных корней. Область определения будет пересечением областей определения каждого слагаемого. Это значит, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны одновременно. Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ 3-x \ge 0 \end{cases}$
Из второго неравенства получаем $x \le 3$.
Общим решением системы является пересечение промежутков $[0; +\infty)$ и $(-\infty; 3]$, то есть отрезок $[0; 3]$.
Ответ: $[0; 3]$.

8) Область определения функции – это множество значений $x$, при которых оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} x-7 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $x \ge 7$. Второе неравенство: $x \ge 0$.
Пересечением решений $x \ge 7$ и $x \ge 0$ является промежуток, удовлетворяющий обоим условиям, то есть $x \ge 7$.
Ответ: $[7; +\infty)$.

160. Найти область определения функции $y = f(x)$, заданной графически на рисунке 41.

Рис. 41

Область определения функции $D(f)$ представляет собой множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция существует. Для функции, заданной графически, область определения — это проекция её графика на ось абсцисс ($Ox$).

Проанализируем график, представленный на рисунке:

• Крайняя левая точка графика имеет абсциссу $x = -3$. Точка изображена закрашенным кружком, что означает, что значение $x = -3$ входит в область определения.
• Крайняя правая точка графика имеет абсциссу $x = 4$. Эта точка также закрашена, значит, значение $x = 4$ входит в область определения.
• Между этими значениями, при $x = 2$, на графике имеется выколотая точка (пустой кружок). Это означает, что в точке $x = 2$ функция не определена, и данное значение нужно исключить из области определения.

Таким образом, функция определена для всех значений $x$ из отрезка $[-3; 4]$ за исключением точки $x=2$. Это множество можно представить как объединение двух интервалов: $[-3; 2)$ и $(2; 4]$.

Ответ: $D(f) = [-3; 2) \cup (2; 4]$.

161. Найти область определения функции $y = y(x)$, заданной таблицей:

x -7 -3 $\frac{1}{4}$ 7 25

$y(x)$ -8 -1 0 2 17

Область определения функции, обозначаемая как $D(y)$ или $D(f)$, — это множество всех значений независимой переменной (аргумента $x$), для которых функция определена.

В данном случае функция $y = y(x)$ задана с помощью таблицы. Это означает, что функция определена только для тех значений $x$, которые перечислены в первой строке таблицы.

Значения аргумента $x$ из таблицы:

$x_1 = -7$
$x_2 = -3$
$x_3 = \frac{1}{4}$
$x_4 = 7$
$x_5 = 25$

Таким образом, область определения данной функции представляет собой множество, состоящее из этих пяти чисел.

Ответ: $D(y) = \{-7; -3; \frac{1}{4}; 7; 25\}$.

162. Доказать, что на множестве всех действительных чисел функция:

1) $y = -3x + 1$ убывает;

2) $y(x) = x^3$ возрастает.

1) Чтобы доказать, что функция $y = -3x + 1$ убывает на множестве всех действительных чисел, воспользуемся определением убывающей функции. Функция является убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из её области определения, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $y(x_2) < y(x_1)$.

Возьмем два произвольных действительных числа $x_1$ и $x_2$ при условии $x_2 > x_1$. Найдем разность значений функции в этих точках:

$y(x_2) - y(x_1) = (-3x_2 + 1) - (-3x_1 + 1) = -3x_2 + 1 + 3x_1 - 1 = -3(x_2 - x_1)$.

163. В одной системе координат построить графики функций:

1) $y=\sqrt{x}$ и $y=-\sqrt{x}$;

2) $y=\frac{1}{x^2}$ и $y=-\frac{1}{x^2}$.

1) $y=\sqrt{x}$ и $y=-\sqrt{x}$

Для построения графиков этих двух функций в одной системе координат, рассмотрим каждую функцию отдельно.

Построение графика функции $y=\sqrt{x}$:

1. Область определения и область значений. Функция определена для всех неотрицательных значений $x$, то есть $x \ge 0$. Область значений также неотрицательна: $y \ge 0$. Таким образом, график функции будет расположен в первой координатной четверти.

2. Контрольные точки. Найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• при $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка (0; 0).
• при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка (1; 1).
• при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Точка (4; 2).
• при $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$. Точка (9; 3).

3. Построение. Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Получим ветвь параболы, выходящую из начала координат.

Построение графика функции $y=-\sqrt{x}$:

1. Область определения и область значений. Область определения та же: $x \ge 0$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $-\sqrt{x} \le 0$. Следовательно, область значений $y \le 0$. График этой функции будет расположен в четвертой координатной четверти.

2. Связь с графиком $y=\sqrt{x}$. Заметим, что для каждого значения $x$ из области определения, ордината графика $y=-\sqrt{x}$ противоположна по знаку ординате графика $y=\sqrt{x}$. Это означает, что график функции $y=-\sqrt{x}$ симметричен графику функции $y=\sqrt{x}$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

3. Контрольные точки. Используем те же значения $x$:

• при $x=0$, $y=-\sqrt{0}=0$. Точка (0; 0).
• при $x=1$, $y=-\sqrt{1}=-1$. Точка (1; -1).
• при $x=4$, $y=-\sqrt{4}=-2$. Точка (4; -2).
• при $x=9$, $y=-\sqrt{9}=-3$. Точка (9; -3).

4. Построение. Отметим эти точки и соединим их плавной кривой. Получим ветвь параболы, симметричную первой относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ является ветвью параболы, расположенной в первой координатной четверти. График функции $y=-\sqrt{x}$ является ветвью параболы, расположенной в четвертой координатной четверти. Вместе эти два графика образуют параболу $y^2=x$, которая симметрична относительно оси Ox.

2) $y=\frac{1}{x^2}$ и $y=-\frac{1}{x^2}$

Рассмотрим построение графиков этих двух функций.

Построение графика функции $y=\frac{1}{x^2}$:

1. Область определения и область значений. Функция определена для всех $x$, кроме $x=0$. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Поскольку $x^2>0$ для любого $x \ne 0$, то и $y=\frac{1}{x^2}>0$. Область значений: $(0; +\infty)$. График расположен в первой и второй координатных четвертях.

2. Симметрия. Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Асимптоты. При $x \to 0$, $y \to +\infty$. Значит, ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Значит, ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.

4. Контрольные точки. В силу симметрии достаточно найти точки для $x>0$:

• при $x=1$, $y=\frac{1}{1^2}=1$. Точки (1; 1) и (-1; 1).
• при $x=2$, $y=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$. Точки (2; 0.25) и (-2; 0.25).
• при $x=0.5$, $y=\frac{1}{(0.5)^2}=4$. Точки (0.5; 4) и (-0.5; 4).

5. Построение. Построим ветвь графика в первой четверти, используя точки и учитывая асимптоты. Затем симметрично отразим ее относительно оси Oy, чтобы получить вторую ветвь во второй четверти.

Построение графика функции $y=-\frac{1}{x^2}$:

1. Область определения и область значений. Область определения та же: $x \ne 0$. Поскольку $\frac{1}{x^2}>0$, то $y=-\frac{1}{x^2}<0$. Область значений: $(-\infty; 0)$. График расположен в третьей и четвертой координатных четвертях.

2. Связь с графиком $y=\frac{1}{x^2}$. Ординаты графика $y=-\frac{1}{x^2}$ противоположны по знаку ординатам графика $y=\frac{1}{x^2}$ при тех же значениях $x$. Следовательно, график функции $y=-\frac{1}{x^2}$ симметричен графику $y=\frac{1}{x^2}$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

3. Контрольные точки:

• при $x=\pm1$, $y=-1$. Точки (1; -1) и (-1; -1).
• при $x=\pm2$, $y=-\frac{1}{4}$. Точки (2; -0.25) и (-2; -0.25).
• при $x=\pm0.5$, $y=-4$. Точки (0.5; -4) и (-0.5; -4).

4. Построение. Можно построить график по точкам, либо просто отразить уже построенный график $y=\frac{1}{x^2}$ симметрично относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y=\frac{1}{x^2}$ состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях, симметричных относительно оси Oy. График функции $y=-\frac{1}{x^2}$ также состоит из двух ветвей, но они расположены в III и IV четвертях. Графики обеих функций симметричны друг другу относительно оси Ox. Ось Oy является вертикальной асимптотой, а ось Ox — горизонтальной асимптотой для обоих графиков.

164. В одной системе координат построить графики функций:

1) $y=2x$ и $y=-2x$;

2) $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=-\sqrt[3]{x}$;

3) $y=-x^2$ и $y=-3x^2$;

4) $y=-x^2$ и $y=-\frac{1}{3}x^2$;

5) $y=x^2$ и $y=(x-1)^2$;

6) $y=x^3$ и $y=(x+1)^3$;

7) $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=\sqrt[3]{x-2}$;

8) $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{x-3}$;

9) $y=x^3$ и $y=x^3-2$;

10) $y=x^3$ и $y=x^3+2$.

1) $y=2x$ и $y=-2x$

Обе функции, $y=2x$ и $y=-2x$, являются линейными функциями вида $y=kx$. Их графики — это прямые линии, проходящие через начало координат $(0,0)$.

Для построения графика $y=2x$ найдем вторую точку. Например, при $x=1$, $y=2 \cdot 1 = 2$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(1,2)$.

Для построения графика $y=-2x$ также найдем вторую точку. Например, при $x=1$, $y=-2 \cdot 1 = -2$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(1,-2)$.

График функции $y=-2x$ является симметричным отражением графика $y=2x$ относительно оси ординат ($Oy$), а также относительно оси абсцисс ($Ox$).

Ответ: Графики функций — это две прямые, пересекающиеся в начале координат. Прямая $y=2x$ проходит через I и III координатные четверти, а прямая $y=-2x$ — через II и IV. Графики симметричны относительно обеих координатных осей.

2) $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=-\sqrt[3]{x}$

Функция $y=\sqrt[3]{x}$ — это функция кубического корня. Ее график — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Для построения составим таблицу ключевых точек: $(0,0)$, $(1,1)$, $(8,2)$, $(-1,-1)$, $(-8,-2)$.

График функции $y=-\sqrt[3]{x}$ можно получить из графика $y=\sqrt[3]{x}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). Каждое значение $y$ для $y=\sqrt[3]{x}$ умножается на $-1$. Ключевые точки для $y=-\sqrt[3]{x}$: $(0,0)$, $(1,-1)$, $(8,-2)$, $(-1,1)$, $(-8,2)$.

Так как $y=-\sqrt[3]{x}$ эквивалентно $y=\sqrt[3]{-x}$, графики также симметричны относительно оси ординат ($Oy$).

Ответ: Графики функций — это две кривые (кубические параболы), проходящие через начало координат и симметричные друг другу относительно осей $Ox$ и $Oy$.

3) $y=-x^2$ и $y=-3x^2$

Обе функции являются квадратичными. Их графики — параболы с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицательный).

График $y=-x^2$ — это стандартная парабола, отраженная относительно оси $Ox$. Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,-1)$, $(-1,-1)$, $(2,-4)$, $(-2,-4)$.

График $y=-3x^2$ получается из графика $y=-x^2$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 3 раза (относительно оси $Ox$). Это означает, что при том же значении $x$ значение $y$ будет в 3 раза больше по модулю. Парабола станет "уже". Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,-3)$, $(-1,-3)$.

Ответ: Графики функций — это две параболы с общей вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола $y=-3x^2$ является более узкой (растянутой вдоль оси $Oy$) по сравнению с параболой $y=-x^2$.

4) $y=-x^2$ и $y=-\frac{1}{3}x^2$

Обе функции являются квадратичными. Их графики — параболы с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз.

График $y=-x^2$ — это стандартная парабола, отраженная относительно оси $Ox$. Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,-1)$, $(-1,-1)$, $(2,-4)$, $(-2,-4)$.

График $y=-\frac{1}{3}x^2$ получается из графика $y=-x^2$ путем сжатия вдоль оси $Oy$ в 3 раза (к оси $Ox$). Это означает, что при том же значении $x$ значение $y$ будет в 3 раза меньше по модулю. Парабола станет "шире". Ключевые точки: $(0,0)$, $(3,-3)$, $(-3,-3)$.

Ответ: Графики функций — это две параболы с общей вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола $y=-\frac{1}{3}x^2$ является более широкой (сжатой к оси $Ox$) по сравнению с параболой $y=-x^2$.

5) $y=x^2$ и $y=(x-1)^2$

Функция $y=x^2$ — стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,1)$, $(2,4)$, $(-2,4)$.

График функции $y=(x-1)^2$ получается из графика $y=x^2$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс ($Ox$) на 1 единицу вправо. Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x-1)$.

Вершина параболы $y=(x-1)^2$ смещается в точку $(1,0)$. Форма параболы остается той же.

Ответ: Графики функций — это две одинаковые параболы с ветвями вверх. График $y=x^2$ имеет вершину в точке $(0,0)$, а график $y=(x-1)^2$ получен из первого сдвигом на 1 единицу вправо и имеет вершину в точке $(1,0)$.

6) $y=x^3$ и $y=(x+1)^3$

Функция $y=x^3$ — стандартная кубическая парабола, проходящая через начало координат. Точка $(0,0)$ является точкой перегиба. Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,-1)$, $(2,8)$, $(-2,-8)$.

График функции $y=(x+1)^3$ получается из графика $y=x^3$ путем сдвига вдоль оси абсцисс ($Ox$) на 1 единицу влево. Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x+1)$, что соответствует сдвигу на $-1$.

Точка перегиба графика $y=(x+1)^3$ смещается в точку $(-1,0)$. Форма кривой остается той же.

Ответ: Графики функций — это две одинаковые кубические параболы. График $y=x^3$ имеет центр симметрии (точку перегиба) в точке $(0,0)$, а график $y=(x+1)^3$ получен из первого сдвигом на 1 единицу влево и имеет центр симметрии в точке $(-1,0)$.

7) $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=\sqrt[3]{x-2}$

Функция $y=\sqrt[3]{x}$ — функция кубического корня. График проходит через начало координат, которое является точкой перегиба. Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,1)$, $(8,2)$, $(-1,-1)$, $(-8,-2)$.

График функции $y=\sqrt[3]{x-2}$ получается из графика $y=\sqrt[3]{x}$ путем сдвига вдоль оси абсцисс ($Ox$) на 2 единицы вправо. Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x-2)$.

Точка перегиба графика $y=\sqrt[3]{x-2}$ смещается в точку $(2,0)$. Форма кривой остается той же.

Ответ: Графики функций — это две одинаковые кривые кубического корня. График $y=\sqrt[3]{x}$ проходит через точку $(0,0)$, а график $y=\sqrt[3]{x-2}$ получен из первого сдвигом на 2 единицы вправо и проходит через точку $(2,0)$.

8) $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{x-3}$

Функция $y=\sqrt{x}$ — стандартная функция квадратного корня. Ее график — ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0,0)$ и идущая в I координатную четверть. Область определения: $x \ge 0$. Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,1)$, $(4,2)$, $(9,3)$.

График функции $y=\sqrt{x-3}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем сдвига вдоль оси абсцисс ($Ox$) на 3 единицы вправо. Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x-3)$.

Начальная точка графика $y=\sqrt{x-3}$ смещается в точку $(3,0)$. Область определения функции: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

Ответ: Графики функций — это две одинаковые ветви параболы. График $y=\sqrt{x}$ начинается в точке $(0,0)$, а график $y=\sqrt{x-3}$ получен из первого сдвигом на 3 единицы вправо и начинается в точке $(3,0)$.

9) $y=x^3$ и $y=x^3-2$

Функция $y=x^3$ — стандартная кубическая парабола с центром симметрии (точкой перегиба) в начале координат $(0,0)$.

График функции $y=x^3-2$ получается из графика $y=x^3$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ординат ($Oy$) на 2 единицы вниз. Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x)-2$.

Точка перегиба графика $y=x^3-2$ смещается в точку $(0,-2)$. Форма кривой остается той же.

Ответ: Графики функций — это две одинаковые кубические параболы. График $y=x^3$ имеет центр симметрии в точке $(0,0)$, а график $y=x^3-2$ получен из первого сдвигом на 2 единицы вниз и имеет центр симметрии в точке $(0,-2)$.

10) $y=x^3$ и $y=x^3+2$

Функция $y=x^3$ — стандартная кубическая парабола с центром симметрии (точкой перегиба) в начале координат $(0,0)$.

График функции $y=x^3+2$ получается из графика $y=x^3$ путем сдвига вдоль оси ординат ($Oy$) на 2 единицы вверх. Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x)+2$.

Точка перегиба графика $y=x^3+2$ смещается в точку $(0,2)$. Форма кривой остается той же.

Ответ: Графики функций — это две одинаковые кубические параболы. График $y=x^3$ имеет центр симметрии в точке $(0,0)$, а график $y=x^3+2$ получен из первого сдвигом на 2 единицы вверх и имеет центр симметрии в точке $(0,2)$.

165. Найти область определения функции:

1) $y = \sqrt[3]{\frac{5x-3}{x-4}}$;

2) $y = \sqrt{\frac{x^2-5}{x+1}}$.

1) $y = \sqrt[3]{\frac{5x-3}{x-4}}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция содержит корень нечетной степени (кубический корень) и дробь.

1. Кубический корень определен для любого действительного числа. Поэтому подкоренное выражение $\frac{5x-3}{x-4}$ может принимать любые значения.

2. Единственное ограничение накладывается знаменателем дроби: он не должен быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x - 4 \neq 0$ $x \neq 4$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=4$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$

2) $y = \sqrt{\frac{x^2-5}{x+1}}$

Данная функция содержит корень четной степени (квадратный корень) и дробь.

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Эти два условия можно объединить в одно неравенство: $\frac{x^2-5}{x+1} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя: $x^2-5 = 0$ $x^2 = 5$ $x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$

Найдем нули знаменателя (эти точки будут "выколотыми", так как знаменатель не может быть равен нулю): $x+1 = 0$ $x_3 = -1$

Отметим эти точки на числовой оси: $-\sqrt{5}$, $-1$, $\sqrt{5}$. (Заметим, что $2 < \sqrt{5} < 3$, поэтому $-\sqrt{5} < -1$). Точки $-\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$ будут "закрашенными", так как неравенство нестрогое ($\ge$), а точка $-1$ — "выколотой".

Определим знаки выражения $\frac{x^2-5}{x+1}$ на полученных интервалах:

• При $x \in (\sqrt{5}; +\infty)$, например $x=3$: $\frac{3^2-5}{3+1} = \frac{4}{4} = 1 > 0$. Ставим знак "+".
• При $x \in (-1; \sqrt{5})$, например $x=0$: $\frac{0^2-5}{0+1} = -5 < 0$. Ставим знак "-".
• При $x \in (-\sqrt{5}; -1)$, например $x=-2$: $\frac{(-2)^2-5}{-2+1} = \frac{-1}{-1} = 1 > 0$. Ставим знак "+".
• При $x \in (-\infty; -\sqrt{5})$, например $x=-3$: $\frac{(-3)^2-5}{-3+1} = \frac{4}{-2} = -2 < 0$. Ставим знак "-".

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (со знаком "+"). Это интервалы $[-\sqrt{5}; -1)$ и $[\sqrt{5}; +\infty)$. Точка $x=-\sqrt{5}$ и $x=\sqrt{5}$ включаются в область определения, а точка $x=-1$ исключается.

Ответ: $D(y) = [-\sqrt{5}; -1) \cup [\sqrt{5}; +\infty)$

166. Построить график функции:

1) $y = -(x + 3)^2 + 2$;

2) $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$;

3) $y = 2\sqrt{x + 4} - 3$;

4) $y = -\sqrt{x - 3} + 4$;

5) $y = -(x - 1)^3 + 2$;

6) $y = 2(x + 3)^3 - 2$;

7) $y = \frac{2}{x - 1} + 3$;

8) $y = \frac{3}{(x + 1)^2} - 1$.

1) Для построения графика функции $y = -(x + 3)^2 + 2$ используются преобразования графика базовой функции $y = x^2$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = x^2$ (стандартная парабола с вершиной в начале координат) сдвигается на 3 единицы влево по оси Ox. Получаем $y = (x+3)^2$.
2. Полученный график отражается симметрично относительно оси Ox. Получаем $y = -(x+3)^2$. Ветви параболы теперь направлены вниз.
3. Затем график сдвигается на 2 единицы вверх по оси Oy. Получаем итоговый график $y = -(x+3)^2 + 2$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-3, 2)$, ветви которой направлены вниз.

2) Для построения графика функции $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$ используются преобразования графика базовой функции $y = x^2$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = x^2$ сдвигается на 3 единицы вправо по оси Ox. Получаем $y = (x-3)^2$.
2. Происходит сжатие графика к оси Ox в 2 раза (или растяжение от оси Oy в $\sqrt{2}$ раз). Получаем $y = \frac{1}{2}(x-3)^2$.
3. Затем график сдвигается на 2 единицы вниз по оси Oy. Получаем итоговый график $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(3, -2)$, ветви которой направлены вверх и она "шире" стандартной параболы $y=x^2$.

3) Для построения графика функции $y = 2\sqrt{x + 4} - 3$ используются преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы, выходящая из начала координат в первой четверти) сдвигается на 4 единицы влево по оси Ox. Получаем $y = \sqrt{x+4}$. Начальная точка смещается в $(-4, 0)$. Область определения: $x \ge -4$.
2. График растягивается от оси Ox в 2 раза. Получаем $y = 2\sqrt{x+4}$.
3. Затем график сдвигается на 3 единицы вниз по оси Oy. Получаем итоговый график $y = 2\sqrt{x+4} - 3$.

Ответ: Графиком является ветвь параболы, выходящая из точки $(-4, -3)$ и идущая вправо и вверх.

4) Для построения графика функции $y = -\sqrt{x - 3} + 4$ используются преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = \sqrt{x}$ сдвигается на 3 единицы вправо по оси Ox. Получаем $y = \sqrt{x-3}$. Начальная точка смещается в $(3, 0)$. Область определения: $x \ge 3$.
2. Полученный график отражается симметрично относительно оси Ox. Получаем $y = -\sqrt{x-3}$. Ветвь параболы теперь направлена вниз.
3. Затем график сдвигается на 4 единицы вверх по оси Oy. Получаем итоговый график $y = -\sqrt{x-3} + 4$.

Ответ: Графиком является ветвь параболы, выходящая из точки $(3, 4)$ и идущая вправо и вниз.

5) Для построения графика функции $y = -(x - 1)^3 + 2$ используются преобразования графика базовой функции $y = x^3$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = x^3$ (кубическая парабола с центром симметрии в начале координат) сдвигается на 1 единицу вправо по оси Ox. Получаем $y = (x-1)^3$.
2. Полученный график отражается симметрично относительно оси Ox. Получаем $y = -(x-1)^3$.
3. Затем график сдвигается на 2 единицы вверх по оси Oy. Получаем итоговый график $y = -(x-1)^3 + 2$.

Ответ: Графиком является кубическая парабола с центром симметрии в точке $(1, 2)$, убывающая на всей области определения.

6) Для построения графика функции $y = 2(x + 3)^3 - 2$ используются преобразования графика базовой функции $y = x^3$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = x^3$ сдвигается на 3 единицы влево по оси Ox. Получаем $y = (x+3)^3$.
2. График растягивается от оси Ox в 2 раза. Получаем $y = 2(x+3)^3$.
3. Затем график сдвигается на 2 единицы вниз по оси Oy. Получаем итоговый график $y = 2(x+3)^3 - 2$.

Ответ: Графиком является кубическая парабола с центром симметрии в точке $(-3, -2)$, которая "круче" стандартной $y=x^3$.

7) Для построения графика функции $y = \frac{2}{x - 1} + 3$ используются преобразования графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = \frac{1}{x}$ (гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$) сдвигается на 1 единицу вправо по оси Ox. Получаем $y = \frac{1}{x-1}$. Вертикальная асимптота смещается на $x=1$.
2. График растягивается от оси Ox в 2 раза. Получаем $y = \frac{2}{x-1}$.
3. Затем график сдвигается на 3 единицы вверх по оси Oy. Получаем итоговый график $y = \frac{2}{x-1} + 3$. Горизонтальная асимптота смещается на $y=3$.

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x = 1$ и горизонтальной асимптотой $y = 3$. Ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно новых асимптот.

8) Для построения графика функции $y = \frac{3}{(x + 1)^2} - 1$ используются преобразования графика базовой функции $y = \frac{1}{x^2}$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = \frac{1}{x^2}$ (с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви в I и II четвертях) сдвигается на 1 единицу влево по оси Ox. Получаем $y = \frac{1}{(x+1)^2}$. Вертикальная асимптота смещается на $x=-1$.
2. График растягивается от оси Ox в 3 раза. Получаем $y = \frac{3}{(x+1)^2}$.
3. Затем график сдвигается на 1 единицу вниз по оси Oy. Получаем итоговый график $y = \frac{3}{(x+1)^2} - 1$. Горизонтальная асимптота смещается на $y=-1$.

Ответ: Графиком функции является кривая с вертикальной асимптотой $x = -1$ и горизонтальной асимптотой $y = -1$. Обе ветви графика расположены выше горизонтальной асимптоты $y=-1$.