Страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

Решить неравенство (152—154).

152. 1) $x^2 - 2x - 8 \le 0$;

2) $x^2 - 2x - 8 > 0$;

3) $x^2 + 6x + 9 \ge 0$;

4) $x^2 + 6x + 9 > 0$;

5) $x^2 + 6x + 9 < 0$;

6) $x^2 + 3x + 3 < 0$.

1) Решим неравенство $x^2 - 2x - 8 \le 0$.
Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = -2$.
$x_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в точках $x = -2$ и $x = 4$.
Неравенство $x^2 - 2x - 8 \le 0$ выполняется на том промежутке, где парабола находится ниже или на оси Ox. Это происходит между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением является отрезок $[-2, 4]$.
Ответ: $x \in [-2, 4]$.

2) Решим неравенство $x^2 - 2x - 8 > 0$.
Используем корни, найденные в предыдущем задании: $x_1 = -2$ и $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 8$ является парабола с ветвями вверх.
Неравенство $x^2 - 2x - 8 > 0$ выполняется там, где парабола находится строго выше оси Ox. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.
Поскольку неравенство строгое ($>$), сами точки $x = -2$ и $x = 4$ в решение не входят.
Следовательно, решением является объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$.

3) Решим неравенство $x^2 + 6x + 9 \ge 0$.
Выражение в левой части неравенства является полным квадратом суммы:
$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.
Таким образом, неравенство можно переписать в виде: $(x+3)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю.
Следовательно, данное неравенство выполняется при любом действительном значении $x$.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

4) Решим неравенство $x^2 + 6x + 9 > 0$.
Как и в предыдущем пункте, преобразуем левую часть в полный квадрат:
$(x+3)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Он равен нулю только тогда, когда выражение в скобках равно нулю.
$(x+3)^2 = 0$ при $x+3=0$, то есть при $x=-3$.
Во всех остальных случаях $(x+3)^2$ будет строго больше нуля.
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x=-3$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$.

5) Решим неравенство $x^2 + 6x + 9 < 0$.
Преобразуем левую часть в полный квадрат:
$(x+3)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Он всегда больше или равен нулю.
Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых данное неравенство было бы верным.
Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

6) Решим неравенство $x^2 + 3x + 3 < 0$.
Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $x^2 + 3x + 3 = 0$ и найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Графиком функции $y = x^2 + 3x + 3$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх.
Так как у параболы нет точек пересечения с осью Ox и ее ветви направлены вверх, вся парабола целиком лежит выше оси Ox. Это означает, что выражение $x^2 + 3x + 3$ всегда принимает только положительные значения при любом $x$.
Следовательно, неравенство $x^2 + 3x + 3 < 0$ не имеет решений.
Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

153. 1) $x^2 - 12x + 36 < 0;$

2) $x^2 + x + \frac{1}{4} \le 0;$

3) $-x^2 + 3x - 4 \ge 0;$

4) $-x^2 - 5x - 7 < 0;$

5) $0,5x^2 + x - 4 < 0;$

6) $-2x^2 - 5x + 3 < 0.$

1) Решим неравенство $x^2 - 12x + 36 < 0$.

Левая часть неравенства является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = (x-6)^2$.

Неравенство можно переписать в виде: $(x-6)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x-6)^2 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $(x-6)^2 < 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) Решим неравенство $x^2 + x + \frac{1}{4} \le 0$.

Левая часть неравенства является полным квадратом суммы: $x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (x+\frac{1}{2})^2$.

Неравенство можно переписать в виде: $(x+\frac{1}{2})^2 \le 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Неравенство выполняется только в том случае, когда левая часть равна нулю.

$(x+\frac{1}{2})^2 = 0 \implies x + \frac{1}{2} = 0 \implies x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: -0,5.

3) Решим неравенство $-x^2 + 3x - 4 \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный: $x^2 - 3x + 4 \le 0$.

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y(x) = x^2 - 3x + 4$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, то вся парабола находится выше оси Ox. Это означает, что $x^2 - 3x + 4 > 0$ для любого $x$. Следовательно, неравенство $x^2 - 3x + 4 \le 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений.

4) Решим неравенство $-x^2 - 5x - 7 < 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный: $x^2 + 5x + 7 > 0$.

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y(x) = x^2 + 5x + 7$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Так как $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, то вся парабола находится выше оси Ox. Это означает, что $x^2 + 5x + 7 > 0$ для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

5) Решим неравенство $0,5x^2 + x - 4 < 0$.

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента: $x^2 + 2x - 8 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$; $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$.

Парабола $y=x^2+2x-8$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1>0$), и пересекает ось Ox в точках -4 и 2. Значения функции отрицательны между корнями.

Ответ: $(-4; 2)$.

6) Решим неравенство $-2x^2 - 5x + 3 < 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный: $2x^2 + 5x - 3 > 0$.

Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = -3$; $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$.

Парабола $y=2x^2+5x-3$ имеет ветви, направленные вверх ($a=2>0$), и пересекает ось Ox в точках -3 и 0,5. Значения функции положительны вне интервала между корнями.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (0,5; +\infty)$.