Страница 43 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

134. Не выполняя построения графика функции $y = -2x^2 + x - 3$, определить, принадлежит ли ему точка:

1) A(-1; 0);

2) B(1; 4);

3) C($\frac{1}{2}$; -3);

4) D($-\frac{1}{2}$; -4).

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции $y = -2x^2 + x - 3$, нужно подставить координаты точки $(x; y)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное равенство, то точка принадлежит графику. Если равенство неверное, то точка не принадлежит графику.

1) A(-1; 0);

Подставим в уравнение функции $y = -2x^2 + x - 3$ координаты точки A, где $x = -1$ и $y = 0$:
$0 = -2(-1)^2 + (-1) - 3$
$0 = -2(1) - 1 - 3$
$0 = -2 - 1 - 3$
$0 = -6$
Получили неверное равенство. Следовательно, точка A не принадлежит графику функции.
Ответ: не принадлежит.

2) B(1; 4);

Подставим в уравнение функции $y = -2x^2 + x - 3$ координаты точки B, где $x = 1$ и $y = 4$:
$4 = -2(1)^2 + 1 - 3$
$4 = -2(1) + 1 - 3$
$4 = -2 + 1 - 3$
$4 = -4$
Получили неверное равенство. Следовательно, точка B не принадлежит графику функции.
Ответ: не принадлежит.

3) C($\frac{1}{2}$; -3);

Подставим в уравнение функции $y = -2x^2 + x - 3$ координаты точки C, где $x = \frac{1}{2}$ и $y = -3$:
$-3 = -2(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} - 3$
$-3 = -2(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} - 3$
$-3 = -\frac{2}{4} + \frac{1}{2} - 3$
$-3 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 3$
$-3 = -3$
Получили верное равенство. Следовательно, точка C принадлежит графику функции.
Ответ: принадлежит.

4) D($-\frac{1}{2}$; -4).

Подставим в уравнение функции $y = -2x^2 + x - 3$ координаты точки D, где $x = -\frac{1}{2}$ и $y = -4$:
$-4 = -2(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) - 3$
$-4 = -2(\frac{1}{4}) - \frac{1}{2} - 3$
$-4 = -\frac{2}{4} - \frac{1}{2} - 3$
$-4 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 3$
$-4 = -1 - 3$
$-4 = -4$
Получили верное равенство. Следовательно, точка D принадлежит графику функции.
Ответ: принадлежит.

135. Найти нули функции:

1) $y = x^2 - 4x + 3;$

2) $y = x^2 + x - 6;$

3) $y = 3x^2 + 5x - 2;$

4) $y = -3x^2 + 7x - 2.$

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули для каждой функции, нужно приравнять ее к нулю и решить полученное квадратное уравнение.

1) $y = x^2 - 4x + 3$

Приравниваем функцию к нулю: $x^2 - 4x + 3 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=1$, $b=-4$, $c=3$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1; 3.

2) $y = x^2 + x - 6$

Приравниваем функцию к нулю: $x^2 + x - 6 = 0$.

Это приведенное квадратное уравнение, где коэффициенты $a=1$, $b=1$, $c=-6$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Ответ: -3; 2.

3) $y = 3x^2 + 5x - 2$

Приравниваем функцию к нулю: $3x^2 + 5x - 2 = 0$.

Это квадратное уравнение, где коэффициенты $a=3$, $b=5$, $c=-2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.

Ответ: -2; $\frac{1}{3}$.

4) $y = -3x^2 + 7x - 2$

Приравниваем функцию к нулю: $-3x^2 + 7x - 2 = 0$.

Для удобства умножим обе части уравнения на -1: $3x^2 - 7x + 2 = 0$.

Это квадратное уравнение, где коэффициенты $a=3$, $b=-7$, $c=2$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$; 2.

136. Найти координаты точек пересечения с осями координат параболы:

1) $y = 2x^2 + 5x + 3$;

2) $y = -3x^2 - x + 10.

$y = |x^2 - 5x + 4|$

Рис. 24

$y = x^2 - 5|x| + 6$

Рис. 25

1) $y = 2x^2 + 5x + 3$

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат необходимо рассмотреть два случая.

Пересечение с осью ординат (осью y):

Точка пересечения с осью y имеет абсциссу $x = 0$. Подставим это значение в уравнение параболы:

$y = 2(0)^2 + 5(0) + 3 = 0 + 0 + 3 = 3$.

Таким образом, точка пересечения с осью y имеет координаты $(0; 3)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью x):

Точки пересечения с осью x имеют ординату $y = 0$. Подставим это значение в уравнение параболы и решим полученное квадратное уравнение:

$2x^2 + 5x + 3 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.

Таким образом, точки пересечения с осью x имеют координаты $(-1; 0)$ и $(-\frac{3}{2}; 0)$.

Ответ: с осью y: $(0; 3)$; с осью x: $(-1; 0)$ и $(-\frac{3}{2}; 0)$.

2) $y = -3x^2 - x + 10$

Пересечение с осью ординат (осью y):

Подставим $x = 0$ в уравнение параболы:

$y = -3(0)^2 - 0 + 10 = 10$.

Точка пересечения с осью y имеет координаты $(0; 10)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью x):

Подставим $y = 0$ в уравнение параболы:

$-3x^2 - x + 10 = 0$.

Для удобства умножим все члены уравнения на $-1$:

$3x^2 + x - 10 = 0$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121$.

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$. Найдем корни:

$x_1 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.

$x_2 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$.

Таким образом, точки пересечения с осью x имеют координаты $(\frac{5}{3}; 0)$ и $(-2; 0)$.

Ответ: с осью y: $(0; 10)$; с осью x: $(\frac{5}{3}; 0)$ и $(-2; 0)$.