Страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

130. Решить относительно x уравнение:

1) $ax^2 + 5x = 0;$
2) $ax^2 - 3x = 0;$
3) $x^2 - a = 0;$
4) $2x^2 + a = 0.$

1) Решим уравнение $ax^2 + 5x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение с параметром $a$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(ax + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $x = 0$

2) $ax + 5 = 0$

Первый корень $x=0$ существует при любом значении параметра $a$. Решение второго уравнения зависит от значения $a$.

Случай 1: $a = 0$.

Если $a = 0$, исходное уравнение становится линейным: $0 \cdot x^2 + 5x = 0$, то есть $5x = 0$. В этом случае единственным решением является $x = 0$.

Случай 2: $a \neq 0$.

Если $a \neq 0$, то из второго уравнения $ax + 5 = 0$ находим второй корень:

$ax = -5$

$x = -\frac{5}{a}$

Таким образом, при $a \neq 0$ уравнение имеет два корня.

Ответ: если $a=0$, то $x=0$; если $a \neq 0$, то $x_1=0$, $x_2 = -\frac{5}{a}$.

2) Решим уравнение $ax^2 - 3x = 0$.

Это уравнение решается аналогично предыдущему. Вынесем $x$ за скобки:

$x(ax - 3) = 0$

Получаем два случая:

1) $x = 0$

2) $ax - 3 = 0$

Рассмотрим значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$.

Уравнение принимает вид $-3x = 0$, откуда $x = 0$.

Случай 2: $a \neq 0$.

При $a \neq 0$ уравнение имеет два корня. Первый корень $x_1 = 0$. Второй находим из уравнения $ax - 3 = 0$:

$ax = 3$

$x_2 = \frac{3}{a}$

Ответ: если $a=0$, то $x=0$; если $a \neq 0$, то $x_1=0$, $x_2 = \frac{3}{a}$.

3) Решим уравнение $x^2 - a = 0$.

Перенесем параметр $a$ в правую часть:

$x^2 = a$

Решение этого уравнения зависит от знака параметра $a$.

Случай 1: $a > 0$.

Если $a$ — положительное число, уравнение имеет два действительных корня:

$x = \pm\sqrt{a}$

Случай 2: $a = 0$.

Если $a = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$. У него есть один корень:

$x = 0$

Случай 3: $a < 0$.

Если $a$ — отрицательное число, уравнение $x^2 = a$ не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: если $a > 0$, то $x = \pm\sqrt{a}$; если $a = 0$, то $x = 0$; если $a < 0$, то действительных корней нет.

4) Решим уравнение $2x^2 + a = 0$.

Выразим $x^2$ из уравнения:

$2x^2 = -a$

$x^2 = -\frac{a}{2}$

Решение зависит от знака выражения в правой части, то есть от знака $a$.

Случай 1: $a < 0$.

Если $a$ — отрицательное число (например, $a=-2$), то выражение $-\frac{a}{2}$ будет положительным. Уравнение будет иметь два действительных корня:

$x = \pm\sqrt{-\frac{a}{2}}$

Случай 2: $a = 0$.

Если $a = 0$, уравнение принимает вид $2x^2 = 0$, или $x^2=0$. У него один корень:

$x = 0$

Случай 3: $a > 0$.

Если $a$ — положительное число, то выражение $-\frac{a}{2}$ будет отрицательным. В этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $a < 0$, то $x = \pm\sqrt{-\frac{a}{2}}$; если $a = 0$, то $x = 0$; если $a > 0$, то действительных корней нет.

131. Найти все значения $a$, при которых уравнение $x^2 + 4x + a = 0$:

1) имеет два различных действительных корня;

2) имеет один корень;

3) не имеет действительных корней.

Для анализа количества действительных корней квадратного уравнения $x^2 + 4x + a = 0$ необходимо исследовать знак его дискриминанта $D$.

Формула дискриминанта для уравнения вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ имеет вид $D = B^2 - 4AC$.

В нашем случае коэффициенты равны: $A=1$, $B=4$, $C=a$.

Вычислим дискриминант:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 16 - 4a$.

1) имеет два различных действительных корня;

Квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, когда его дискриминант строго положителен, то есть $D > 0$.

Решим неравенство:

$16 - 4a > 0$

$16 > 4a$

$4 > a$

Это означает, что уравнение имеет два различных действительных корня при $a < 4$.

Ответ: $a < 4$.

2) имеет один корень;

Квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два равных действительных корня), когда его дискриминант равен нулю, то есть $D = 0$.

Решим уравнение:

$16 - 4a = 0$

$4a = 16$

$a = 4$

Это означает, что уравнение имеет один корень при $a = 4$.

Ответ: $a = 4$.

3) не имеет действительных корней.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, когда его дискриминант отрицателен, то есть $D < 0$.

Решим неравенство:

$16 - 4a < 0$

$16 < 4a$

$4 < a$

Это означает, что уравнение не имеет действительных корней при $a > 4$.

Ответ: $a > 4$.

132. Найти все значения $a$, при которых уравнение $ax^2 - 2x + 9 = 0$ имеет один корень.

Данное уравнение $ax^2 - 2x + 9 = 0$ является уравнением с параметром $a$. Требуется найти все значения $a$, при которых это уравнение имеет ровно один корень. Для этого необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a = 0$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$0 \cdot x^2 - 2x + 9 = 0$

$-2x + 9 = 0$

Это линейное уравнение, которое всегда имеет один корень:

$-2x = -9$

$x = \frac{9}{2}$

Таким образом, при $a=0$ исходное уравнение имеет один корень. Значит, $a=0$ является одним из искомых значений.

Случай 2: Уравнение является квадратным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a \neq 0$. Квадратное уравнение имеет ровно один корень (или два совпадающих действительных корня) тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

Для уравнения $ax^2 - 2x + 9 = 0$ коэффициенты равны: $a$ (старший коэффициент), $b = -2$ и $c = 9$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot a \cdot 9 = 4 - 36a$

Приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $a$:

$4 - 36a = 0$

$36a = 4$

$a = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

Полученное значение $a = \frac{1}{9}$ удовлетворяет условию $a \neq 0$. Следовательно, при $a = \frac{1}{9}$ уравнение также имеет один корень.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, мы находим все значения параметра $a$.

Ответ: $a=0; a=\frac{1}{9}$.

133. Найти все значения m, при которых уравнение $mx^2 - 2x + 1 = 0$ имеет:

1) один корень;

2) два различных корня.

Для решения задачи необходимо рассмотреть два случая в зависимости от значения параметра $m$.

Случай 1: $m = 0$.
Если $m=0$, исходное уравнение $mx^2 - 2x + 1 = 0$ становится линейным:
$0 \cdot x^2 - 2x + 1 = 0$
$-2x + 1 = 0$
$2x = 1$
$x = 1/2$
При $m=0$ уравнение имеет ровно один корень.

Случай 2: $m \neq 0$.
Если $m \neq 0$, уравнение является квадратным. Количество его действительных корней определяется знаком дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Для данного уравнения коэффициенты: $a=m$, $b=-2$, $c=1$.
Вычислим дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot m \cdot 1 = 4 - 4m$.

Теперь, используя полученные результаты, найдем значения $m$ для каждого из условий задачи.

1) один корень

Уравнение имеет один корень, если оно является линейным (что происходит при $m=0$) или если оно является квадратным ($m \neq 0$) и его дискриминант равен нулю ($D=0$).

Случай $m=0$ мы уже рассмотрели, он дает один корень.

Теперь рассмотрим случай $D=0$ при $m \neq 0$:
$4 - 4m = 0$
$4m = 4$
$m = 1$
Это значение не противоречит условию $m \neq 0$.

Таким образом, уравнение имеет один корень при двух значениях параметра $m$. Ответ: $m=0; m=1$.

2) два различных корня

Уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда оно является квадратным ($m \neq 0$) и его дискриминант строго больше нуля ($D > 0$).

Решим неравенство $D > 0$:
$4 - 4m > 0$
$4 > 4m$
$1 > m$ или $m < 1$.

Мы должны учесть оба условия: $m < 1$ и $m \neq 0$. Объединяя эти условия, получаем, что $m$ может принимать любые значения меньше 1, за исключением 0. Ответ: $m \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$.