Страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

106. Решить уравнение:

1) $0,3x^2 = 0$;2) $5x^2 + 0,1 = 0$;3) $x^2 = 24$;4) $-x^2 + 9 = 0$;

5) $\frac{1}{3}x^2 + 6 = 0$;6) $-x^2 + \frac{1}{4} = 0$;7) $\frac{1}{5}x^2 - 2x = 0$;8) $3x + 4x^2 = 0$;

9) $x(x - 3) = 4(x + 1) + 3x^2 - 7x$;

10) $\frac{x^2 - 2}{2} + \frac{2 + x^2 - x}{3} = \frac{3x - 1}{3}$;

11) $x^2 - 7x + 12 = 0$;12) $x^2 + x - 30 = 0$;

13) $x^2 + 4x + 9 = 0$;14) $x^2 + 3x - 108 = 0$;

15) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$;16) $\frac{1}{4}x^2 - 2x + 4 = 0$;

17) $2x^2 + x - 15 = 0$;18) $3x^2 - 14x + 8 = 0$;

19) $-4x^2 + 11x + 3 = 0$;20) $-2x^2 + 3x - 3 = 0$.

1) Дано уравнение $0,3x^2 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Так как $0,3 \ne 0$, то должно выполняться $x^2 = 0$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $x = 0$.
Ответ: $x=0$.

2) Дано уравнение $5x^2 + 0,1 = 0$. Перенесем свободный член в правую часть: $5x^2 = -0,1$. Разделим обе части на 5: $x^2 = -0,02$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

3) Дано уравнение $x^2 = 24$. Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $x = \pm\sqrt{24}$. Упростим корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. Таким образом, $x = \pm2\sqrt{6}$.
Ответ: $x_1 = 2\sqrt{6}, x_2 = -2\sqrt{6}$.

4) Дано уравнение $-x^2 + 9 = 0$. Перенесем $-x^2$ в правую часть уравнения, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным: $9 = x^2$. Извлекая квадратный корень, получаем $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x = \pm3$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -3$.

5) Дано уравнение $\frac{1}{3}x^2 + 6 = 0$. Перенесем 6 в правую часть: $\frac{1}{3}x^2 = -6$. Умножим обе части уравнения на 3: $x^2 = -18$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

6) Дано уравнение $-x^2 + \frac{1}{4} = 0$. Перенесем $-x^2$ в правую часть: $\frac{1}{4} = x^2$. Извлечем квадратный корень из обеих частей: $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$, то есть $x = \pm\frac{1}{2}$.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$.

7) Дано уравнение $\frac{1}{5}x^2 - 2x = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(\frac{1}{5}x - 2) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $x = 0$ или $\frac{1}{5}x - 2 = 0$. Решая второе уравнение, получаем $\frac{1}{5}x = 2$, откуда $x = 10$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 10$.

8) Дано уравнение $3x + 4x^2 = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(3 + 4x) = 0$. Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем два уравнения: $x = 0$ или $3 + 4x = 0$. Из второго уравнения находим $4x = -3$, $x = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -\frac{3}{4}$.

9) Дано уравнение $x(x - 3) = 4(x + 1) + 3x^2 - 7x$. Раскроем скобки: $x^2 - 3x = 4x + 4 + 3x^2 - 7x$. Приведем подобные слагаемые в правой части: $x^2 - 3x = 3x^2 - 3x + 4$. Перенесем все слагаемые в одну сторону, например, вправо: $0 = 3x^2 - x^2 - 3x + 3x + 4$. Упростим: $2x^2 + 4 = 0$. Перенесем 4 вправо: $2x^2 = -4$. Разделим на 2: $x^2 = -2$. Уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

10) Дано уравнение $\frac{x^2 - 2}{2} + \frac{2 + x^2 - x}{3} = \frac{3x - 1}{3}$. Умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель 6: $3(x^2 - 2) + 2(2 + x^2 - x) = 2(3x - 1)$. Раскроем скобки: $3x^2 - 6 + 4 + 2x^2 - 2x = 6x - 2$. Приведем подобные слагаемые: $5x^2 - 2x - 2 = 6x - 2$. Перенесем все в левую часть: $5x^2 - 2x - 6x - 2 + 2 = 0$. Получим $5x^2 - 8x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(5x - 8) = 0$. Корни уравнения: $x = 0$ или $5x - 8 = 0$, откуда $x = \frac{8}{5}$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{8}{5}$.

11) Дано уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 12$. Методом подбора находим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Можно также решить через дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$. Корни: $x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2}$, то есть $x_1 = 4, x_2 = 3$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 4$.

12) Дано уравнение $x^2 + x - 30 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -30$. Подбором находим корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$. Либо через дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 = 11^2$. Корни: $x = \frac{-1 \pm 11}{2}$, то есть $x_1 = \frac{10}{2} = 5$ и $x_2 = \frac{-12}{2} = -6$.
Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -6$.

13) Дано уравнение $x^2 + 4x + 9 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

14) Дано уравнение $x^2 + 3x - 108 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441$. Так как $\sqrt{441}=21$, корни равны $x = \frac{-3 \pm 21}{2}$. Отсюда $x_1 = \frac{-3+21}{2} = 9$ и $x_2 = \frac{-3-21}{2} = -12$.
Ответ: $x_1 = 9, x_2 = -12$.

15) Дано уравнение $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$. Заметим, что левая часть является формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=x$ и $b=\sqrt{3}$. Уравнение можно переписать в виде $(x + \sqrt{3})^2 = 0$. Отсюда $x + \sqrt{3} = 0$, и $x = -\sqrt{3}$.
Ответ: $x = -\sqrt{3}$.

16) Дано уравнение $\frac{1}{4}x^2 - 2x + 4 = 0$. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби: $x^2 - 8x + 16 = 0$. Левая часть является формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Уравнение можно записать как $(x - 4)^2 = 0$. Отсюда $x - 4 = 0$, и $x = 4$.
Ответ: $x = 4$.

17) Дано уравнение $2x^2 + x - 15 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$. Корни уравнения: $x = \frac{-1 \pm 11}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 11}{4}$. Отсюда $x_1 = \frac{-1+11}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ и $x_2 = \frac{-1-11}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
Ответ: $x_1 = \frac{5}{2}, x_2 = -3$.

18) Дано уравнение $3x^2 - 14x + 8 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100 = 10^2$. Корни уравнения: $x = \frac{14 \pm 10}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 10}{6}$. Отсюда $x_1 = \frac{14+10}{6} = \frac{24}{6} = 4$ и $x_2 = \frac{14-10}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $x_1 = 4, x_2 = \frac{2}{3}$.

19) Дано уравнение $-4x^2 + 11x + 3 = 0$. Умножим уравнение на -1 для удобства: $4x^2 - 11x - 3 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$. Корни: $x = \frac{11 \pm 13}{2 \cdot 4} = \frac{11 \pm 13}{8}$. Отсюда $x_1 = \frac{11+13}{8} = \frac{24}{8} = 3$ и $x_2 = \frac{11-13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -\frac{1}{4}$.

20) Дано уравнение $-2x^2 + 3x - 3 = 0$. Умножим на -1: $2x^2 - 3x + 3 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

107. Решить уравнение:

1) $x^2 - 10 = 5 - x(x + 7)$;

2) $3x(x - 2) + 7 = 0.$

1) $x^2 - 10 = 5 - x(x + 7)$

Сначала раскроем скобки в правой части уравнения, умножив $-x$ на каждый член в скобках:
$x^2 - 10 = 5 - x^2 - 7x$

Теперь перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 + x^2 + 7x - 10 - 5 = 0$

Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 7x - 15 = 0$

Теперь мы имеем стандартное квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=7$, $c=-15$. Для его решения найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 13}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$
$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 13}{4} = \frac{-20}{4} = -5$

Ответ: $-5; 1.5$.

2) $3x(x - 2) + 7 = 0$

Раскроем скобки, умножив $3x$ на каждый член в скобках:
$3x^2 - 6x + 7 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=-6$, $c=7$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 36 - 84 = -48$

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: нет действительных корней.

108. Составить приведённое квадратное уравнение, если известны его корни:

1) $x_1 = 3, x_2 = -7;$

2) $x_1 = -4, x_2 = 0.$

1)

Приведённое квадратное уравнение имеет вид $x^2 + px + q = 0$. Согласно теореме, обратной теореме Виета, коэффициенты $p$ и $q$ связаны с корнями уравнения $x_1$ и $x_2$ следующими соотношениями:

$p = -(x_1 + x_2)$

$q = x_1 \cdot x_2$

В данном задании известны корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -7$.

Вычислим коэффициент $p$, найдя сумму корней:

$x_1 + x_2 = 3 + (-7) = -4$

Следовательно, $p = -(x_1 + x_2) = -(-4) = 4$.

Далее вычислим коэффициент $q$, найдя произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-7) = -21$

Следовательно, $q = x_1 \cdot x_2 = -21$.

Теперь подставим найденные значения $p=4$ и $q=-21$ в стандартный вид приведённого квадратного уравнения:

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Ответ: $x^2 + 4x - 21 = 0$

2)

Даны корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = 0$.

Действуем аналогично первому пункту, используя теорему, обратную теореме Виета.

Находим сумму корней:

$x_1 + x_2 = -4 + 0 = -4$

Отсюда находим коэффициент $p$:

$p = -(x_1 + x_2) = -(-4) = 4$

Находим произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 0 = 0$

Отсюда находим коэффициент $q$:

$q = x_1 \cdot x_2 = 0$

Подставляем найденные значения $p=4$ и $q=0$ в уравнение $x^2 + px + q = 0$:

$x^2 + 4x + 0 = 0$

Упрощая, получаем окончательный вид уравнения:

$x^2 + 4x = 0$

Ответ: $x^2 + 4x = 0$

109. Найти сумму и произведение корней уравнения $3x^2 - 7x - 3 = 0$.

Для нахождения суммы и произведения корней квадратного уравнения $3x^2 - 7x - 3 = 0$ можно воспользоваться теоремой Виета.

Сначала определим коэффициенты квадратного уравнения, которое имеет общий вид $ax^2 + bx + c = 0$:

• $a = 3$
• $b = -7$
• $c = -3$

Прежде чем применять теорему Виета, необходимо убедиться, что уравнение имеет действительные корни. Для этого вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 49 + 36 = 85$

Поскольку дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и мы можем применить теорему Виета.

Сумма корней

Согласно теореме Виета, сумма корней ($x_1 + x_2$) квадратного уравнения равна отношению коэффициента $b$ к коэффициенту $a$, взятому с противоположным знаком:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Подставим значения наших коэффициентов:

$x_1 + x_2 = -\frac{-7}{3} = \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{7}{3}$.

Произведение корней

Согласно теореме Виета, произведение корней ($x_1 \cdot x_2$) квадратного уравнения равно отношению свободного члена $c$ к коэффициенту $a$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим значения наших коэффициентов:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{-3}{3} = -1$

Ответ: $-1$.

110. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, найти корни уравнения:

1) $x^2 + 5x + 6 = 0;$

2) $x^2 - 3x - 4 = 0;$

3) $x^2 + 3x - 4 = 0.$

1) $x^2 + 5x + 6 = 0$

Данное уравнение является приведенным квадратным уравнением вида $x^2 + px + q = 0$, где коэффициент при $x$ равен $p = 5$, а свободный член $q = 6$. Согласно теореме, обратной теореме Виета, если существуют числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$
то эти числа являются корнями данного уравнения.
В нашем случае ищем два числа, сумма которых равна $-5$, а произведение равно $6$:
$x_1 + x_2 = -5$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Подберем пары целых чисел, произведение которых дает 6. Это могут быть (1; 6), (-1; -6), (2; 3), (-2; -3). Теперь проверим, какая из этих пар в сумме дает -5:
$1 + 6 = 7 \neq -5$
$-1 + (-6) = -7 \neq -5$
$2 + 3 = 5 \neq -5$
$-2 + (-3) = -5$
Эта пара удовлетворяет обоим условиям. Следовательно, корнями уравнения являются числа -2 и -3.
Ответ: -3; -2.

2) $x^2 - 3x - 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где $p = -3$ и $q = -4$. По теореме, обратной теореме Виета, ищем корни $x_1$ и $x_2$, которые удовлетворяют системе уравнений:
$x_1 + x_2 = -(-3) = 3$
$x_1 \cdot x_2 = -4$
Найдем пары целых чисел, произведение которых равно -4. Так как произведение отрицательное, числа должны иметь разные знаки. Возможные пары: (1; -4), (-1; 4), (2; -2). Проверим их сумму:
$1 + (-4) = -3 \neq 3$
$-1 + 4 = 3$
Эта пара подходит.
$2 + (-2) = 0 \neq 3$
Таким образом, корнями уравнения являются числа -1 и 4.
Ответ: -1; 4.

3) $x^2 + 3x - 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, в котором $p = 3$ и $q = -4$. Используя теорему, обратную теореме Виета, найдем корни $x_1$ и $x_2$, для которых:
$x_1 + x_2 = -3$
$x_1 \cdot x_2 = -4$
Рассмотрим пары целых чисел, произведение которых равно -4. Как и в предыдущем пункте, это пары (1; -4), (-1; 4), (2; -2). Проверим сумму для каждой пары, чтобы она равнялась -3:
$1 + (-4) = -3$
Эта пара удовлетворяет условию.
$-1 + 4 = 3 \neq -3$
$2 + (-2) = 0 \neq -3$
Значит, корнями уравнения являются числа 1 и -4.
Ответ: -4; 1.

111. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 12x + 35;$

2) $x^2 + 9x + 20;$

3) $5x^2 + 9x - 2;$

4) $4x^2 - x - 3;$

5) $-2x^2 + 5x - 2;$

6) $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12.$

Общая формула для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители: $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ – корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Для разложения на множители трёхчлена $x^2 - 12x + 35$, найдём корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 12x + 35 = 0$.

Это приведённое квадратное уравнение, где $a=1, b=-12, c=35$. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b = 12$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c = 35$.

Методом подбора находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.

Подставляем найденные корни в формулу разложения:

$x^2 - 12x + 35 = 1 \cdot (x - 5)(x - 7) = (x - 5)(x - 7)$.

Ответ: $(x - 5)(x - 7)$.

Разложим на множители трёхчлен $x^2 + 9x + 20$. Для этого решим уравнение $x^2 + 9x + 20 = 0$.

По теореме Виета ($a=1, b=9, c=20$):

$x_1 + x_2 = -b = -9$.

$x_1 \cdot x_2 = c = 20$.

Корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = -5$.

Подставляем в формулу разложения:

$x^2 + 9x + 20 = (x - (-4))(x - (-5)) = (x + 4)(x + 5)$.

Ответ: $(x + 4)(x + 5)$.

Разложим на множители трёхчлен $5x^2 + 9x - 2$. Решим уравнение $5x^2 + 9x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: $a=5, b=9, c=-2$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 \pm 11}{10}$.

$x_1 = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

$x_2 = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2$.

Подставляем в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$5x^2 + 9x - 2 = 5(x - \frac{1}{5})(x - (-2)) = 5(x - \frac{1}{5})(x + 2)$.

Внесём множитель 5 в первую скобку: $(5 \cdot x - 5 \cdot \frac{1}{5})(x + 2) = (5x - 1)(x + 2)$.

Ответ: $(5x - 1)(x + 2)$.

Разложим на множители трёхчлен $4x^2 - x - 3$. Решим уравнение $4x^2 - x - 3 = 0$.

Коэффициенты: $a=4, b=-1, c=-3$.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm 7}{8}$.

$x_1 = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

$x_2 = \frac{1 - 7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Подставляем в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$4x^2 - x - 3 = 4(x - 1)(x - (-\frac{3}{4})) = 4(x - 1)(x + \frac{3}{4})$.

Внесём множитель 4 во вторую скобку: $(x - 1)(4 \cdot x + 4 \cdot \frac{3}{4}) = (x - 1)(4x + 3)$.

Ответ: $(x - 1)(4x + 3)$.

Разложим на множители трёхчлен $-2x^2 + 5x - 2$. Решим уравнение $-2x^2 + 5x - 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=-2, b=5, c=-2$.

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-2) = 25 - 16 = 9$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-5 \pm 3}{-4}$.

$x_1 = \frac{-5 + 3}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-5 - 3}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2$.

Подставляем в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$-2x^2 + 5x - 2 = -2(x - \frac{1}{2})(x - 2)$.

Внесём множитель -2 в первую скобку: $(-2 \cdot x - (-2) \cdot \frac{1}{2})(x - 2) = (-2x + 1)(x - 2)$.

Запишем в виде $(1 - 2x)(x - 2)$.

Ответ: $(1 - 2x)(x - 2)$.

Разложим на множители трёхчлен $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12$. Решим уравнение $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$.

Коэффициент $a = \frac{2}{3}$. Удобнее сначала вынести его за скобки:

$\frac{2}{3}(x^2 + \frac{2}{2/3}x - \frac{12}{2/3}) = \frac{2}{3}(x^2 + 3x - 18)$.

Теперь найдём корни трёхчлена в скобках, решив уравнение $x^2 + 3x - 18 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -3$.

$x_1 \cdot x_2 = -18$.

Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -6$.

Следовательно, $x^2 + 3x - 18 = (x - 3)(x - (-6)) = (x - 3)(x + 6)$.

Возвращаясь к исходному выражению, получаем:

$\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = \frac{2}{3}(x - 3)(x + 6)$.

Ответ: $\frac{2}{3}(x - 3)(x + 6)$.

112. Сократить дробь $\frac{2x^2+x-1}{3x^2+4x+1}$.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель. Для этого найдем корни квадратных трехчленов в числителе и знаменателе.

1. Разложим на множители числитель $2x^2 + x - 1$.
Решим квадратное уравнение $2x^2 + x - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$2x^2 + x - 1 = 2(x - \frac{1}{2})(x - (-1)) = 2(x - \frac{1}{2})(x + 1) = (2x - 1)(x + 1)$.

2. Разложим на множители знаменатель $3x^2 + 4x + 1$.
Решим квадратное уравнение $3x^2 + 4x + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 2}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 - 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.
Разложим на множители:
$3x^2 + 4x + 1 = 3(x - (-\frac{1}{3}))(x - (-1)) = 3(x + \frac{1}{3})(x + 1) = (3x + 1)(x + 1)$.

3. Подставим разложенные выражения в исходную дробь и выполним сокращение.
$\frac{2x^2 + x - 1}{3x^2 + 4x + 1} = \frac{(2x - 1)(x + 1)}{(3x + 1)(x + 1)}$.
Общим множителем является $(x + 1)$. Сократим на него, при условии, что $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
$\frac{(2x - 1)\cancel{(x + 1)}}{(3x + 1)\cancel{(x + 1)}} = \frac{2x - 1}{3x + 1}$.

Ответ: $\frac{2x - 1}{3x + 1}$

113. Решить уравнение:

1) $ \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 5x} = 0; $

2) $ \frac{-x^2 - 2x + 15}{x^2 + 4x} = 0; $

3) $ \frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9} = 0; $

4) $ \frac{3x^2 + 8x - 3}{2x + 6} = 0; $

5) $ \frac{1}{2} + \frac{4}{x} = \frac{5}{x - 3}; $

6) $ \frac{7}{x} + \frac{1}{x - 5} = 1\frac{1}{2}. $

1) $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 5x} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0 \\ x^2 - 5x \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 6. Отсюда находим корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

2. Проверим условие для знаменателя (Область допустимых значений, ОДЗ): $x^2 - 5x \neq 0$.
Разложим на множители: $x(x - 5) \neq 0$.
Следовательно, $x \neq 0$ и $x \neq 5$.

3. Сравним найденные корни с ОДЗ. Оба корня, $x=2$ и $x=3$, удовлетворяют условиям ($2 \neq 0, 2 \neq 5$ и $3 \neq 0, 3 \neq 5$).

Ответ: $2; 3$.

2) $\frac{-x^2 - 2x + 15}{x^2 + 4x} = 0$

Решаем систему:

$\begin{cases} -x^2 - 2x + 15 = 0 \\ x^2 + 4x \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $-x^2 - 2x + 15 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $x^2 + 2x - 15 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна -2, а произведение -15. Корни: $x_1 = -5$, $x_2 = 3$.

2. Проверим ОДЗ: $x^2 + 4x \neq 0$.
Разложим на множители: $x(x + 4) \neq 0$.
Следовательно, $x \neq 0$ и $x \neq -4$.

3. Оба корня, $x=-5$ и $x=3$, удовлетворяют условиям ОДЗ, так как они не равны 0 или -4.

Ответ: $-5; 3$.

3) $\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9} = 0$

Решаем систему:

$\begin{cases} x^2 - x - 12 = 0 \\ x^2 - 9 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $x^2 - x - 12 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение -12. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -3$.

2. Проверим ОДЗ: $x^2 - 9 \neq 0$.
Разложим на множители по формуле разности квадратов: $(x - 3)(x + 3) \neq 0$.
Следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

3. Сравним корни с ОДЗ. Корень $x=4$ удовлетворяет условию. Корень $x=-3$ не удовлетворяет условию ($x \neq -3$), поэтому он является посторонним.

Ответ: $4$.

4) $\frac{3x^2 + 8x - 3}{2x + 6} = 0$

Решаем систему:

$\begin{cases} 3x^2 + 8x - 3 = 0 \\ 2x + 6 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим уравнение числителя: $3x^2 + 8x - 3 = 0$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.
$x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.

2. Проверим ОДЗ: $2x + 6 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -6 \Rightarrow x \neq -3$.

3. Сравним корни с ОДЗ. Корень $x=1/3$ удовлетворяет условию. Корень $x=-3$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

5) $\frac{1}{2} + \frac{4}{x} = \frac{5}{x - 3}$

1. Найдем ОДЗ. Знаменатели не могут быть равны нулю: $x \neq 0$ и $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.

2. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю $2x(x - 3)$:

$\frac{1}{2} + \frac{4}{x} - \frac{5}{x - 3} = 0$

$\frac{1 \cdot x(x-3) + 4 \cdot 2(x-3) - 5 \cdot 2x}{2x(x-3)} = 0$

$\frac{x^2 - 3x + 8x - 24 - 10x}{2x(x-3)} = 0$

$\frac{x^2 - 5x - 24}{2x(x-3)} = 0$

3. Теперь решаем уравнение $x^2 - 5x - 24 = 0$ при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение -24. Корни: $x_1 = 8$, $x_2 = -3$.

4. Оба корня, $x=8$ и $x=-3$, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-3; 8$.

6) $\frac{7}{x} + \frac{1}{x-5} = 1\frac{1}{2}$

1. Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Уравнение примет вид: $\frac{7}{x} + \frac{1}{x-5} = \frac{3}{2}$.

2. Найдем ОДЗ: $x \neq 0$ и $x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.

3. Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю $2x(x-5)$:

$\frac{7}{x} + \frac{1}{x-5} - \frac{3}{2} = 0$

$\frac{7 \cdot 2(x-5) + 1 \cdot 2x - 3 \cdot x(x-5)}{2x(x-5)} = 0$

$\frac{14x - 70 + 2x - 3x^2 + 15x}{2x(x-5)} = 0$

$\frac{-3x^2 + 31x - 70}{2x(x-5)} = 0$

4. Решаем уравнение числителя: $-3x^2 + 31x - 70 = 0$ или $3x^2 - 31x + 70 = 0$.
Дискриминант $D = (-31)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 70 = 961 - 840 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{31 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{42}{6} = 7$.
$x_2 = \frac{31 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$.

5. Оба корня, $x=7$ и $x=10/3$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$ и $x \neq 5$).

Ответ: $\frac{10}{3}; 7$.

114. Решить уравнение:

1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0;$

2) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0;$

3) $x^4 + 2x^2 - 15 = 0;$

4) $x^4 + x^2 - 6 = 0.$

1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $y \ge 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 7y + 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Отсюда легко найти корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = 4$.

Либо можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2}$

$y_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3$

$y_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4$

Оба найденных значения для $y$ (3 и 4) удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. Если $y = 3$, то $x^2 = 3$, откуда $x = \pm\sqrt{3}$.

2. Если $y = 4$, то $x^2 = 4$, откуда $x = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.

Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $\{-2; -\sqrt{3}; \sqrt{3}; 2\}$.

2) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$, при этом $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$y^2 - 10y + 9 = 0$

По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = 10$, а произведение $y_1 \cdot y_2 = 9$. Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 9$.

Оба корня положительны, поэтому подходят под условие $y \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1. $x^2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} = \pm 1$.

2. $x^2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} = \pm 3$.

Уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $\{-3; -1; 1; 3\}$.

3) $x^4 + 2x^2 - 15 = 0$

Введем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное:

$y^2 + 2y - 15 = 0$

Решим его через дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

$y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 8}{2}$

$y_1 = \frac{-2 - 8}{2} = -5$

$y_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$

Корень $y_1 = -5$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому является посторонним.

Остается один подходящий корень $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

$x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.

Уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $\{-\sqrt{3}; \sqrt{3}\}$.

4) $x^4 + x^2 - 6 = 0$

Сделаем замену $y = x^2$, ($y \ge 0$).

Получим квадратное уравнение:

$y^2 + y - 6 = 0$

По теореме Виета, $y_1 + y_2 = -1$ и $y_1 \cdot y_2 = -6$. Корни: $y_1 = -3$, $y_2 = 2$.

Корень $y_1 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому отбрасываем его.

Используем корень $y_2 = 2$.

Выполним обратную замену:

$x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

Уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $\{-\sqrt{2}; \sqrt{2}\}$.

115. Решить систему уравнений:

1) $ \begin{cases} 2x - y = 0, \\ 3x^2 - y^2 + 4 = 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x - 2y = 8, \\ x^2 + 2y^2 = 22; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy + 6 = 0. \end{cases} $

1) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x - y = 0 \\ 3x^2 - y^2 + 4 = 0 \end{cases} $
Это система из одного линейного и одного квадратного уравнения. Воспользуемся методом подстановки.
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 2x$
Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3x^2 - (2x)^2 + 4 = 0$
$3x^2 - 4x^2 + 4 = 0$
$-x^2 + 4 = 0$
$x^2 = 4$
Отсюда находим два возможных значения для $x$:
$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя формулу $y = 2x$.
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 \cdot 2 = 4$.
Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(2; 4), (-2; -4)$.

2) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x - 2y = 8 \\ x^2 + 2y^2 = 22 \end{cases} $
Применим метод подстановки. Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 8 + 2y$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(8 + 2y)^2 + 2y^2 = 22$
Раскроем скобки и упростим уравнение:
$64 + 32y + 4y^2 + 2y^2 = 22$
$6y^2 + 32y + 64 - 22 = 0$
$6y^2 + 32y + 42 = 0$
Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:
$3y^2 + 16y + 21 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 21 = 256 - 252 = 4$
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-16 \pm 2}{6}$
$y_1 = \frac{-16 + 2}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$
$y_2 = \frac{-16 - 2}{6} = \frac{-18}{6} = -3$
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$ по формуле $x = 8 + 2y$.
Если $y_1 = -\frac{7}{3}$, то $x_1 = 8 + 2 \cdot (-\frac{7}{3}) = 8 - \frac{14}{3} = \frac{24-14}{3} = \frac{10}{3}$.
Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 8 + 2 \cdot (-3) = 8 - 6 = 2$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(\frac{10}{3}; -\frac{7}{3}), (2; -3)$.

3) Решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy + 6 = 0 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ (предполагая, что $x \neq 0$):
$xy = -6$
$y = -\frac{6}{x}$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + (-\frac{6}{x})^2 = 13$
$x^2 + \frac{36}{x^2} = 13$
Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:
$x^4 + 36 = 13x^2$
$x^4 - 13x^2 + 36 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$ (причем $t \ge 0$).
$t^2 - 13t + 36 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а произведение равно 36. Корни легко находятся: $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$. Оба корня положительны, поэтому подходят.
Вернемся к переменной $x$:
1) $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$
Если $x = 2$, то $y = -\frac{6}{2} = -3$. Получаем решение $(2, -3)$.
Если $x = -2$, то $y = -\frac{6}{-2} = 3$. Получаем решение $(-2, 3)$.
2) $x^2 = 9 \implies x = \pm 3$
Если $x = 3$, то $y = -\frac{6}{3} = -2$. Получаем решение $(3, -2)$.
Если $x = -3$, то $y = -\frac{6}{-3} = 2$. Получаем решение $(-3, 2)$.
Система имеет четыре решения.
Ответ: $(2; -3), (-2; 3), (3; -2), (-3; 2)$.