Номер 111, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

111. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 12x + 35;$

2) $x^2 + 9x + 20;$

3) $5x^2 + 9x - 2;$

4) $4x^2 - x - 3;$

5) $-2x^2 + 5x - 2;$

6) $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12.$

Общая формула для разложения квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$ на множители: $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ – корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Для разложения на множители трёхчлена $x^2 - 12x + 35$, найдём корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 12x + 35 = 0$.

Это приведённое квадратное уравнение, где $a=1, b=-12, c=35$. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -b = 12$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = c = 35$.

Методом подбора находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$.

Подставляем найденные корни в формулу разложения:

$x^2 - 12x + 35 = 1 \cdot (x - 5)(x - 7) = (x - 5)(x - 7)$.

Ответ: $(x - 5)(x - 7)$.

Разложим на множители трёхчлен $x^2 + 9x + 20$. Для этого решим уравнение $x^2 + 9x + 20 = 0$.

По теореме Виета ($a=1, b=9, c=20$):

$x_1 + x_2 = -b = -9$.

$x_1 \cdot x_2 = c = 20$.

Корни уравнения: $x_1 = -4$ и $x_2 = -5$.

Подставляем в формулу разложения:

$x^2 + 9x + 20 = (x - (-4))(x - (-5)) = (x + 4)(x + 5)$.

Ответ: $(x + 4)(x + 5)$.

Разложим на множители трёхчлен $5x^2 + 9x - 2$. Решим уравнение $5x^2 + 9x - 2 = 0$ с помощью дискриминанта.

Коэффициенты: $a=5, b=9, c=-2$.

Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 \pm 11}{10}$.

$x_1 = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

$x_2 = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2$.

Подставляем в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$5x^2 + 9x - 2 = 5(x - \frac{1}{5})(x - (-2)) = 5(x - \frac{1}{5})(x + 2)$.

Внесём множитель 5 в первую скобку: $(5 \cdot x - 5 \cdot \frac{1}{5})(x + 2) = (5x - 1)(x + 2)$.

Ответ: $(5x - 1)(x + 2)$.

Разложим на множители трёхчлен $4x^2 - x - 3$. Решим уравнение $4x^2 - x - 3 = 0$.

Коэффициенты: $a=4, b=-1, c=-3$.

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{1 \pm 7}{8}$.

$x_1 = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

$x_2 = \frac{1 - 7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$.

Подставляем в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$4x^2 - x - 3 = 4(x - 1)(x - (-\frac{3}{4})) = 4(x - 1)(x + \frac{3}{4})$.

Внесём множитель 4 во вторую скобку: $(x - 1)(4 \cdot x + 4 \cdot \frac{3}{4}) = (x - 1)(4x + 3)$.

Ответ: $(x - 1)(4x + 3)$.

Разложим на множители трёхчлен $-2x^2 + 5x - 2$. Решим уравнение $-2x^2 + 5x - 2 = 0$.

Коэффициенты: $a=-2, b=5, c=-2$.

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-2) = 25 - 16 = 9$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot (-2)} = \frac{-5 \pm 3}{-4}$.

$x_1 = \frac{-5 + 3}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-5 - 3}{-4} = \frac{-8}{-4} = 2$.

Подставляем в формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$-2x^2 + 5x - 2 = -2(x - \frac{1}{2})(x - 2)$.

Внесём множитель -2 в первую скобку: $(-2 \cdot x - (-2) \cdot \frac{1}{2})(x - 2) = (-2x + 1)(x - 2)$.

Запишем в виде $(1 - 2x)(x - 2)$.

Ответ: $(1 - 2x)(x - 2)$.

Разложим на множители трёхчлен $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12$. Решим уравнение $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$.

Коэффициент $a = \frac{2}{3}$. Удобнее сначала вынести его за скобки:

$\frac{2}{3}(x^2 + \frac{2}{2/3}x - \frac{12}{2/3}) = \frac{2}{3}(x^2 + 3x - 18)$.

Теперь найдём корни трёхчлена в скобках, решив уравнение $x^2 + 3x - 18 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -3$.

$x_1 \cdot x_2 = -18$.

Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -6$.

Следовательно, $x^2 + 3x - 18 = (x - 3)(x - (-6)) = (x - 3)(x + 6)$.

Возвращаясь к исходному выражению, получаем:

$\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = \frac{2}{3}(x - 3)(x + 6)$.

Ответ: $\frac{2}{3}(x - 3)(x + 6)$.