Номер 106, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

106. Решить уравнение:

1) $0,3x^2 = 0$;2) $5x^2 + 0,1 = 0$;3) $x^2 = 24$;4) $-x^2 + 9 = 0$;

5) $\frac{1}{3}x^2 + 6 = 0$;6) $-x^2 + \frac{1}{4} = 0$;7) $\frac{1}{5}x^2 - 2x = 0$;8) $3x + 4x^2 = 0$;

9) $x(x - 3) = 4(x + 1) + 3x^2 - 7x$;

10) $\frac{x^2 - 2}{2} + \frac{2 + x^2 - x}{3} = \frac{3x - 1}{3}$;

11) $x^2 - 7x + 12 = 0$;12) $x^2 + x - 30 = 0$;

13) $x^2 + 4x + 9 = 0$;14) $x^2 + 3x - 108 = 0$;

15) $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$;16) $\frac{1}{4}x^2 - 2x + 4 = 0$;

17) $2x^2 + x - 15 = 0$;18) $3x^2 - 14x + 8 = 0$;

19) $-4x^2 + 11x + 3 = 0$;20) $-2x^2 + 3x - 3 = 0$.

1) Дано уравнение $0,3x^2 = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Так как $0,3 \ne 0$, то должно выполняться $x^2 = 0$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем $x = 0$.
Ответ: $x=0$.

2) Дано уравнение $5x^2 + 0,1 = 0$. Перенесем свободный член в правую часть: $5x^2 = -0,1$. Разделим обе части на 5: $x^2 = -0,02$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

3) Дано уравнение $x^2 = 24$. Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $x = \pm\sqrt{24}$. Упростим корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$. Таким образом, $x = \pm2\sqrt{6}$.
Ответ: $x_1 = 2\sqrt{6}, x_2 = -2\sqrt{6}$.

4) Дано уравнение $-x^2 + 9 = 0$. Перенесем $-x^2$ в правую часть уравнения, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным: $9 = x^2$. Извлекая квадратный корень, получаем $x = \pm\sqrt{9}$, то есть $x = \pm3$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -3$.

5) Дано уравнение $\frac{1}{3}x^2 + 6 = 0$. Перенесем 6 в правую часть: $\frac{1}{3}x^2 = -6$. Умножим обе части уравнения на 3: $x^2 = -18$. Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

6) Дано уравнение $-x^2 + \frac{1}{4} = 0$. Перенесем $-x^2$ в правую часть: $\frac{1}{4} = x^2$. Извлечем квадратный корень из обеих частей: $x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$, то есть $x = \pm\frac{1}{2}$.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$.

7) Дано уравнение $\frac{1}{5}x^2 - 2x = 0$. Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(\frac{1}{5}x - 2) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $x = 0$ или $\frac{1}{5}x - 2 = 0$. Решая второе уравнение, получаем $\frac{1}{5}x = 2$, откуда $x = 10$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 10$.

8) Дано уравнение $3x + 4x^2 = 0$. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(3 + 4x) = 0$. Приравнивая каждый множитель к нулю, получаем два уравнения: $x = 0$ или $3 + 4x = 0$. Из второго уравнения находим $4x = -3$, $x = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -\frac{3}{4}$.

9) Дано уравнение $x(x - 3) = 4(x + 1) + 3x^2 - 7x$. Раскроем скобки: $x^2 - 3x = 4x + 4 + 3x^2 - 7x$. Приведем подобные слагаемые в правой части: $x^2 - 3x = 3x^2 - 3x + 4$. Перенесем все слагаемые в одну сторону, например, вправо: $0 = 3x^2 - x^2 - 3x + 3x + 4$. Упростим: $2x^2 + 4 = 0$. Перенесем 4 вправо: $2x^2 = -4$. Разделим на 2: $x^2 = -2$. Уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

10) Дано уравнение $\frac{x^2 - 2}{2} + \frac{2 + x^2 - x}{3} = \frac{3x - 1}{3}$. Умножим все члены уравнения на наименьший общий знаменатель 6: $3(x^2 - 2) + 2(2 + x^2 - x) = 2(3x - 1)$. Раскроем скобки: $3x^2 - 6 + 4 + 2x^2 - 2x = 6x - 2$. Приведем подобные слагаемые: $5x^2 - 2x - 2 = 6x - 2$. Перенесем все в левую часть: $5x^2 - 2x - 6x - 2 + 2 = 0$. Получим $5x^2 - 8x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(5x - 8) = 0$. Корни уравнения: $x = 0$ или $5x - 8 = 0$, откуда $x = \frac{8}{5}$.
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = \frac{8}{5}$.

11) Дано уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. Это приведенное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 7$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 12$. Методом подбора находим корни $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Можно также решить через дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$. Корни: $x = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2}$, то есть $x_1 = 4, x_2 = 3$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = 4$.

12) Дано уравнение $x^2 + x - 30 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -1$, $x_1 \cdot x_2 = -30$. Подбором находим корни $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$. Либо через дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 = 11^2$. Корни: $x = \frac{-1 \pm 11}{2}$, то есть $x_1 = \frac{10}{2} = 5$ и $x_2 = \frac{-12}{2} = -6$.
Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -6$.

13) Дано уравнение $x^2 + 4x + 9 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.

14) Дано уравнение $x^2 + 3x - 108 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441$. Так как $\sqrt{441}=21$, корни равны $x = \frac{-3 \pm 21}{2}$. Отсюда $x_1 = \frac{-3+21}{2} = 9$ и $x_2 = \frac{-3-21}{2} = -12$.
Ответ: $x_1 = 9, x_2 = -12$.

15) Дано уравнение $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$. Заметим, что левая часть является формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=x$ и $b=\sqrt{3}$. Уравнение можно переписать в виде $(x + \sqrt{3})^2 = 0$. Отсюда $x + \sqrt{3} = 0$, и $x = -\sqrt{3}$.
Ответ: $x = -\sqrt{3}$.

16) Дано уравнение $\frac{1}{4}x^2 - 2x + 4 = 0$. Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби: $x^2 - 8x + 16 = 0$. Левая часть является формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Уравнение можно записать как $(x - 4)^2 = 0$. Отсюда $x - 4 = 0$, и $x = 4$.
Ответ: $x = 4$.

17) Дано уравнение $2x^2 + x - 15 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$. Корни уравнения: $x = \frac{-1 \pm 11}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 11}{4}$. Отсюда $x_1 = \frac{-1+11}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$ и $x_2 = \frac{-1-11}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
Ответ: $x_1 = \frac{5}{2}, x_2 = -3$.

18) Дано уравнение $3x^2 - 14x + 8 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100 = 10^2$. Корни уравнения: $x = \frac{14 \pm 10}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 10}{6}$. Отсюда $x_1 = \frac{14+10}{6} = \frac{24}{6} = 4$ и $x_2 = \frac{14-10}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $x_1 = 4, x_2 = \frac{2}{3}$.

19) Дано уравнение $-4x^2 + 11x + 3 = 0$. Умножим уравнение на -1 для удобства: $4x^2 - 11x - 3 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169 = 13^2$. Корни: $x = \frac{11 \pm 13}{2 \cdot 4} = \frac{11 \pm 13}{8}$. Отсюда $x_1 = \frac{11+13}{8} = \frac{24}{8} = 3$ и $x_2 = \frac{11-13}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -\frac{1}{4}$.

20) Дано уравнение $-2x^2 + 3x - 3 = 0$. Умножим на -1: $2x^2 - 3x + 3 = 0$. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет корней.