Номер 101, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

101. Доказать тождество:

1) $(1 + a\sqrt{a})(a\sqrt{a} - 1) = a^3 - 1$, где $a \geq 0$;

2) $\left(\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2 - 2 = \frac{a^2 + b^2}{ab}$, где $a > 0, b > 0$.

1)

Для доказательства тождества $(1 + a\sqrt{a})(a\sqrt{a} - 1) = a^3 - 1$ при $a \ge 0$ преобразуем его левую часть. Выражение в левой части представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Воспользуемся формулой разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

В нашем случае, переставив слагаемые в первой скобке, получим $(a\sqrt{a} + 1)(a\sqrt{a} - 1)$. Здесь $x = a\sqrt{a}$ и $y = 1$.

Применим формулу:

$(a\sqrt{a} + 1)(a\sqrt{a} - 1) = (a\sqrt{a})^2 - 1^2$

Теперь упростим полученное выражение:

$(a\sqrt{a})^2 = a^2 \cdot (\sqrt{a})^2 = a^2 \cdot a = a^3$

$1^2 = 1$

Подставив упрощенные части обратно, получаем:

$a^3 - 1$

Таким образом, левая часть тождества равна $a^3 - 1$, что совпадает с правой частью. Тождество доказано. Условие $a \ge 0$ необходимо для того, чтобы выражение $\sqrt{a}$ имело смысл.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества $(\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}})^2 - 2 = \frac{a^2+b^2}{ab}$ при $a > 0, b > 0$ преобразуем его левую часть. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В данном случае $x = \sqrt{\frac{a}{b}}$ и $y = \sqrt{\frac{b}{a}}$:

$(\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}})^2 - 2 = \left( \left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2 + 2 \cdot \sqrt{\frac{a}{b}} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} + \left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2 \right) - 2$

Упростим каждый член в скобках:

$\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2 = \frac{a}{b}$

$\left(\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2 = \frac{b}{a}$

$2 \cdot \sqrt{\frac{a}{b}} \cdot \sqrt{\frac{b}{a}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2 \cdot \sqrt{\frac{ab}{ba}} = 2 \cdot \sqrt{1} = 2$

Подставим упрощенные выражения обратно:

$\left( \frac{a}{b} + 2 + \frac{b}{a} \right) - 2 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 2 - 2 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $ab$:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{b \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2 + b^2}{ab}$

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества. Тождество доказано. Условия $a > 0$ и $b > 0$ необходимы для того, чтобы подкоренные выражения были положительными, а знаменатели не равнялись нулю.

Ответ: Тождество доказано.