Номер 94, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

94. Извлечь корень:

1) $\sqrt{4x^2 + 12xy + 9y^2};$

2) $\sqrt{(5 - \sqrt{23})^2};$

3) $\sqrt{(\sqrt{23} - 5)^2};$

4) $\sqrt{(a - b)^2}$, если $a \ge b;$

5) $\sqrt{(a - b)^2}$, если $a \le b.$

Для решения всех пунктов задачи используется основное свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — модуль (абсолютная величина) числа $a$. Модуль раскрывается по правилу:
$|a| = a$, если $a \ge 0$
$|a| = -a$, если $a < 0$

1) $\sqrt{4x^2+12xy+9y^2}$

Подкоренное выражение $4x^2+12xy+9y^2$ представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

В данном случае, $a=2x$ и $b=3y$. Проверим: $(2x)^2 = 4x^2$, $(3y)^2 = 9y^2$, а удвоенное произведение $2 \cdot (2x) \cdot (3y) = 12xy$.

Следовательно, $4x^2+12xy+9y^2 = (2x+3y)^2$.

Подставим это в исходное выражение: $\sqrt{(2x+3y)^2}$.

Применяя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем: $\sqrt{(2x+3y)^2} = |2x+3y|$.

Поскольку знаки $x$ и $y$ не заданы, мы не можем далее упростить выражение (раскрыть модуль).

Ответ: $|2x+3y|$

2) $\sqrt{(5-\sqrt{23})^2}$

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(5-\sqrt{23})^2} = |5-\sqrt{23}|$.

Чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения $5-\sqrt{23}$. Сравним числа $5$ и $\sqrt{23}$. Для этого сравним их квадраты:

$5^2 = 25$

$(\sqrt{23})^2 = 23$

Так как $25 > 23$, то и $5 > \sqrt{23}$. Следовательно, разность $5-\sqrt{23}$ является положительным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем положительно, то модуль равен самому выражению: $|5-\sqrt{23}| = 5-\sqrt{23}$.

Ответ: $5-\sqrt{23}$

3) $\sqrt{(\sqrt{23}-5)^2}$

Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $\sqrt{(\sqrt{23}-5)^2} = |\sqrt{23}-5|$.

Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения $\sqrt{23}-5$. Как мы выяснили в предыдущем пункте, $5 > \sqrt{23}$.

Следовательно, разность $\sqrt{23}-5$ является отрицательным числом.

По определению модуля, если выражение под модулем отрицательно, то модуль равен противоположному выражению: $|\sqrt{23}-5| = -(\sqrt{23}-5) = 5-\sqrt{23}$.

Ответ: $5-\sqrt{23}$

4) $\sqrt{(a-b)^2}$, если $a \ge b$

Применяем свойство $\sqrt{x^2}=|x|$ к нашему выражению: $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$.

По условию задачи, $a \ge b$. Это означает, что разность $a-b$ является неотрицательным числом ($a-b \ge 0$).

Согласно определению модуля, для любого неотрицательного числа $x$ выполняется $|x|=x$.

Следовательно, $|a-b| = a-b$.

Ответ: $a-b$

5) $\sqrt{(a-b)^2}$, если $a \le b$

Применяем свойство $\sqrt{x^2}=|x|$: $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$.

По условию задачи, $a \le b$. Это означает, что разность $a-b$ является неположительным числом ($a-b \le 0$).

Согласно определению модуля, для любого неположительного числа $x$ выполняется $|x|=-x$.

Следовательно, $|a-b| = -(a-b) = b-a$.

Ответ: $b-a$