Номер 87, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

87. На координатной плоскости изобразить множество решений неравенства:

1) $2x + y \leq 0;$

2) $-x + 2y > 0;$

3) $3x - y < 4.$

1) $2x + y \le 0$

Чтобы изобразить множество решений данного неравенства, первым шагом является построение граничной прямой, которая задается соответствующим равенством: $2x + y = 0$.

Для удобства построения выразим $y$ через $x$. Это даст нам уравнение прямой в стандартном виде $y = kx + b$: $y = -2x$.

Это линейная функция, график которой — прямая, проходящая через начало координат, точку $(0, 0)$. Чтобы построить прямую, нам нужна еще одна точка. Возьмем, к примеру, $x = 1$. Тогда $y = -2 \cdot 1 = -2$. Следовательно, прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, -2)$.

Знак неравенства нестрогий ($\le$), это означает, что точки, лежащие на самой прямой $y = -2x$, также являются решениями неравенства. Поэтому на графике прямую следует изображать сплошной (непрерывной) линией.

Эта прямая разделяет координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них является искомым множеством решений, выберем произвольную "пробную" точку, не лежащую на этой прямой. Удобно взять точку $(1, 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $2(1) + 0 \le 0$ $2 \le 0$

Полученное неравенство ложно. Это означает, что полуплоскость, в которой находится точка $(1, 0)$, не является решением. Решением является противоположная полуплоскость. Для проверки можно взять точку из другой полуплоскости, например, $(-1, -1)$: $2(-1) + (-1) \le 0$ $-3 \le 0$ Это неравенство истинно. Таким образом, решением является полуплоскость, которая находится "ниже" прямой $y = -2x$, включая саму прямую.

Ответ: Множеством решений является замкнутая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -2x$ и включающая эту прямую.

2) $-x + 2y > 0$

Аналогично предыдущему пункту, начнем с построения граничной прямой, заданной уравнением $-x + 2y = 0$.

Выразим $y$ через $x$: $2y = x$ $y = \frac{1}{2}x$

Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Найдем вторую точку для построения. Пусть $x = 2$, тогда $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

Знак неравенства строгий ($>$), поэтому точки на самой прямой $y = \frac{1}{2}x$ не входят в множество решений. На графике такая прямая изображается пунктирной (штриховой) линией.

Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Выберем пробную точку, не лежащую на прямой, например, $(0, 1)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $-(0) + 2(1) > 0$ $2 > 0$

Неравенство истинно. Значит, полуплоскость, содержащая точку $(0, 1)$, является решением. Это полуплоскость, расположенная "выше" прямой $y = \frac{1}{2}x$.

Ответ: Множеством решений является открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = \frac{1}{2}x$. Граничная прямая в решение не входит.

3) $3x - y < 4$

Построим граничную прямую, соответствующую уравнению $3x - y = 4$.

Выразим $y$ через $x$: $-y = -3x + 4$ $y = 3x - 4$

Это уравнение прямой. Для ее построения найдем две точки, через которые она проходит. Удобно найти точки пересечения с осями координат:

• При $x = 0$, $y = 3(0) - 4 = -4$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -4)$.
• При $y = 0$, $3x - 0 = 4$, откуда $x = \frac{4}{3}$. Точка пересечения с осью OX: $(\frac{4}{3}, 0)$.

Проведем прямую через эти две точки.

Неравенство строгое ($<$), поэтому точки на прямой $y = 3x - 4$ не являются решениями. Прямую следует изображать пунктирной линией.

Чтобы определить искомую полуплоскость, выберем в качестве пробной точки начало координат $(0, 0)$, так как она не лежит на прямой. Подставим ее координаты в исходное неравенство: $3(0) - 0 < 4$ $0 < 4$

Полученное неравенство истинно. Следовательно, полуплоскость, в которой находится начало координат, и есть множество решений. Это область, расположенная "выше" прямой $y = 3x - 4$.

Ответ: Множеством решений является открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = 3x - 4$. Граничная прямая в решение не входит.