Номер 82, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

С помощью графиков решить неравенства (82—85).

82.

1) $ \frac{1}{2}x - 1 > 0 $;

2) $ -\frac{1}{3}x + 2 < 1. $

Чтобы решить неравенство $ \frac{1}{2}x - 1 > 0 $ с помощью графика, рассмотрим функцию $y = \frac{1}{2}x - 1$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график этой функции находится выше оси абсцисс ($Ox$), то есть где $y > 0$.

График функции $y = \frac{1}{2}x - 1$ — это прямая. Для её построения найдём две точки:

1. Если $x=0$, то $y = \frac{1}{2} \cdot 0 - 1 = -1$. Первая точка — $(0, -1)$ (точка пересечения с осью $Oy$).

2. Если $y=0$, то $0 = \frac{1}{2}x - 1$. Отсюда следует, что $\frac{1}{2}x = 1$, и $x = 2$. Вторая точка — $(2, 0)$ (точка пересечения с осью $Ox$).

Построим прямую, проходящую через точки $(0, -1)$ и $(2, 0)$. Так как угловой коэффициент $\frac{1}{2}$ положителен, функция является возрастающей.

Нас интересует, где $y > 0$. Глядя на график, мы видим, что прямая находится выше оси $Ox$ для всех значений $x$, которые лежат правее точки пересечения с этой осью. Точка пересечения имеет координату $x=2$. Таким образом, неравенство выполняется при $x > 2$.

Ответ: $x > 2$.

Чтобы решить неравенство $ -\frac{1}{3}x + 2 < 1 $ с помощью графиков, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = -\frac{1}{3}x + 2$ и $y = 1$. Решением неравенства будут являться те значения $x$, при которых график функции $y = -\frac{1}{3}x + 2$ расположен ниже прямой $y = 1$.

График функции $y = -\frac{1}{3}x + 2$ — это прямая. Для её построения найдём две точки:

1. Если $x=0$, то $y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 = 2$. Первая точка — $(0, 2)$.

2. Если $x=3$, то $y = -\frac{1}{3} \cdot 3 + 2 = -1 + 2 = 1$. Вторая точка — $(3, 1)$.

График функции $y = 1$ — это горизонтальная прямая, проходящая через все точки с ординатой $1$.

Теперь найдём точку пересечения этих двух графиков. Для этого приравняем выражения для $y$:

$-\frac{1}{3}x + 2 = 1$

$-\frac{1}{3}x = 1 - 2$

$-\frac{1}{3}x = -1$

$x = 3$

Точка пересечения графиков имеет координаты $(3, 1)$.

Нам нужно найти, при каких значениях $x$ выполняется условие $y < 1$, то есть где график $y = -\frac{1}{3}x + 2$ лежит ниже прямой $y=1$. Поскольку функция $y = -\frac{1}{3}x + 2$ является убывающей (угловой коэффициент $-\frac{1}{3}$ отрицателен), её значения будут меньше $1$ для всех $x$, которые больше абсциссы точки пересечения. Следовательно, неравенство выполняется при $x > 3$.

Ответ: $x > 3$.