Номер 81, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

81. Решить графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - \frac{1}{2}y = -1, \\ -2x + y = 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + \frac{1}{3}y = 5, \\ 4x - 3y = -1. \end{cases}$

1) Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики для каждого уравнения в одной системе координат. Решением системы будет точка (или точки) пересечения этих графиков.

Преобразуем оба уравнения к виду линейной функции $y = kx + b$:

Первое уравнение:
$x - \frac{1}{2}y = -1$
$-\frac{1}{2}y = -x - 1$
Умножим обе части уравнения на -2:
$y = 2x + 2$

Второе уравнение:
$-2x + y = 2$
$y = 2x + 2$

Как видим, оба уравнения приводятся к одному и тому же виду $y = 2x + 2$. Это означает, что графики этих уравнений — это одна и та же прямая. Для построения этой прямой найдем две точки.
Если $x=0$, то $y = 2 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка (0, 2).
Если $x=-1$, то $y = 2 \cdot (-1) + 2 = 0$. Точка (-1, 0).

Поскольку графики совпадают, любая точка, принадлежащая этой прямой, является решением системы. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений, которые являются координатами любой точки прямой $y = 2x + 2$.

2) Аналогично первому пункту, решим систему графически. Построим графики для каждого уравнения.

Преобразуем оба уравнения к виду $y = kx + b$:

Первое уравнение:
$2x + \frac{1}{3}y = 5$
$\frac{1}{3}y = -2x + 5$
Умножим обе части уравнения на 3:
$y = -6x + 15$
Найдем две точки для построения графика:
Если $x=2$, то $y = -6 \cdot 2 + 15 = -12 + 15 = 3$. Точка (2, 3).
Если $x=3$, то $y = -6 \cdot 3 + 15 = -18 + 15 = -3$. Точка (3, -3).

Второе уравнение:
$4x - 3y = -1$
$-3y = -4x - 1$
Разделим обе части уравнения на -3:
$y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$
Найдем две точки для построения графика:
Если $x=2$, то $y = \frac{4}{3} \cdot 2 + \frac{1}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Точка (2, 3).
Если $x=-1$, то $y = \frac{4}{3} \cdot (-1) + \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} + \frac{1}{3} = -\frac{3}{3} = -1$. Точка (-1, -1).

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Мы уже нашли эту общую точку при вычислениях — это точка (2, 3). Координаты этой точки являются решением системы уравнений.

Проверим решение, подставив $x=2$ и $y=3$ в исходные уравнения:
$2(2) + \frac{1}{3}(3) = 4 + 1 = 5$ (Верно)
$4(2) - 3(3) = 8 - 9 = -1$ (Верно)

Ответ: (2, 3).