Номер 88, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

88. Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

1) $\begin{cases} 3x - y < 2, \\ -x + y &\leq 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + y &\geq 3, \\ 4x - 2y &\geq 3. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x - y < 2, \\ -x + y \le 1; \end{cases} $

Для того чтобы изобразить множество решений на координатной плоскости, построим графики граничных прямых для каждого неравенства. Сначала преобразуем неравенства, выразив $y$ через $x$.

Первое неравенство: $3x - y < 2$.

$-y < -3x + 2$

При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный:

$y > 3x - 2$

Граничная прямая для этого неравенства — $y = 3x - 2$. Так как неравенство строгое ($>$), прямую будем изображать пунктирной линией. Точки на этой линии не входят в множество решений.

Найдем две точки для построения прямой $y = 3x - 2$:

• Если $x=0$, то $y = 3(0) - 2 = -2$. Точка (0, -2).
• Если $x=1$, то $y = 3(1) - 2 = 1$. Точка (1, 1).

Множество решений неравенства $y > 3x - 2$ — это полуплоскость, расположенная выше прямой $y = 3x - 2$.

Второе неравенство: $-x + y \le 1$.

$y \le x + 1$

Граничная прямая — $y = x + 1$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), прямую будем изображать сплошной линией. Точки на этой линии входят в множество решений.

Найдем две точки для построения прямой $y = x + 1$:

• Если $x=0$, то $y = 0 + 1 = 1$. Точка (0, 1).
• Если $x=-1$, то $y = -1 + 1 = 0$. Точка (-1, 0).

Множество решений неравенства $y \le x + 1$ — это полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = x + 1$, включая саму прямую.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это область, которая находится одновременно выше пунктирной прямой $y = 3x - 2$ и ниже сплошной прямой $y = x + 1$ (включая эту прямую).

Ответ: Множеством решений является область на координатной плоскости, заключенная между прямыми $y = x + 1$ и $y = 3x - 2$, расположенная выше прямой $y = 3x - 2$ и ниже прямой $y = x + 1$. Граница $y = x + 1$ включается в решение (сплошная линия), а граница $y = 3x - 2$ не включается (пунктирная линия).

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x + y \ge 3, \\ 4x - 2y \ge 3; \end{cases} $

Аналогично первому пункту, преобразуем неравенства и построим граничные прямые.

Первое неравенство: $2x + y \ge 3$.

$y \ge -2x + 3$

Граничная прямая — $y = -2x + 3$. Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому прямая сплошная.

Найдем две точки для построения прямой $y = -2x + 3$:

• Если $x=0$, то $y = -2(0) + 3 = 3$. Точка (0, 3).
• Если $x=1$, то $y = -2(1) + 3 = 1$. Точка (1, 1).

Множество решений неравенства $y \ge -2x + 3$ — это полуплоскость выше прямой $y = -2x + 3$, включая саму прямую.

Второе неравенство: $4x - 2y \ge 3$.

$-2y \ge -4x + 3$

При делении на -2 знак неравенства меняется на противоположный:

$y \le 2x - \frac{3}{2}$

$y \le 2x - 1.5$

Граничная прямая — $y = 2x - 1.5$. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому прямая сплошная.

Найдем две точки для построения прямой $y = 2x - 1.5$:

• Если $x=0$, то $y = 2(0) - 1.5 = -1.5$. Точка (0, -1.5).
• Если $x=2$, то $y = 2(2) - 1.5 = 4 - 1.5 = 2.5$. Точка (2, 2.5).

Множество решений неравенства $y \le 2x - 1.5$ — это полуплоскость ниже прямой $y = 2x - 1.5$, включая саму прямую.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Это область, которая находится одновременно выше прямой $y = -2x + 3$ и ниже прямой $y = 2x - 1.5$. Обе прямые сплошные, поэтому границы входят в множество решений.

Ответ: Множеством решений является область на координатной плоскости, заключенная между прямыми $y = -2x + 3$ и $y = 2x - 1.5$, расположенная выше прямой $y = -2x + 3$ и ниже прямой $y = 2x - 1.5$. Обе границы включаются в решение, так как линии сплошные.