Номер 93, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

93. Вычислить:

1) $\sqrt{1\frac{9}{16} \cdot 49};$

2) $\sqrt{\frac{3}{5}} \cdot \sqrt{5\frac{2}{5}};$

3) $\sqrt{\frac{16 \cdot 1,69}{90000}};$

4) $\frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{392}};$

5) $\sqrt{8^4};$

6) $\sqrt{(-4)^6}.$

1) Преобразуем смешанное число $1\frac{9}{16}$ в неправильную дробь: $1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$.

Вычислим значение выражения, используя свойства корней:

$\sqrt{1\frac{9}{16} \cdot 49} = \sqrt{\frac{25}{16} \cdot 49} = \sqrt{\frac{25}{16}} \cdot \sqrt{49} = \frac{5}{4} \cdot 7 = \frac{35}{4}$.

Представим результат в виде смешанного числа: $\frac{35}{4} = 8\frac{3}{4}$.

Ответ: $8\frac{3}{4}$.

2) Преобразуем смешанное число $5\frac{2}{5}$ в неправильную дробь: $5\frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{27}{5}$.

Используем свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:

$\sqrt{\frac{3}{5}} \cdot \sqrt{5\frac{2}{5}} = \sqrt{\frac{3}{5} \cdot \frac{27}{5}} = \sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{9}{5}$.

Преобразуем результат в десятичную дробь: $\frac{9}{5} = 1,8$.

Ответ: $1,8$.

3) Используем свойство корня из частного и произведения $\sqrt{\frac{a \cdot b}{c}} = \frac{\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{c}}$:

$\sqrt{\frac{16 \cdot 1,69}{90000}} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{1,69}}{\sqrt{90000}} = \frac{4 \cdot 1,3}{300} = \frac{5,2}{300}$.

Упростим полученную дробь, умножив числитель и знаменатель на 10, а затем сократив:

$\frac{5,2}{300} = \frac{52}{3000} = \frac{13}{750}$.

Ответ: $\frac{13}{750}$.

4) Внесем множитель 2 под знак корня в числителе ($2\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 8} = \sqrt{32}$) и объединим всё под один корень, используя свойство $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{2\sqrt{8}}{\sqrt{392}} = \frac{\sqrt{32}}{\sqrt{392}} = \sqrt{\frac{32}{392}}$.

Сократим дробь под корнем, разделив числитель и знаменатель на 8:

$\sqrt{\frac{32 \div 8}{392 \div 8}} = \sqrt{\frac{4}{49}}$.

Извлечем корень:

$\sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7}$.

Ответ: $\frac{2}{7}$.

5) Используем свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$ (для $a \ge 0$):

$\sqrt{8^4} = \sqrt{(8^2)^2} = 8^2 = 64$.

Ответ: $64$.

6) Используем свойство $\sqrt{x^2} = |x|$. Представим подкоренное выражение в виде квадрата:

$\sqrt{(-4)^6} = \sqrt{((-4)^3)^2} = |(-4)^3|$.

Вычислим значение в модуле и найдем его абсолютное значение:

$|(-4)^3| = |-64| = 64$.

Ответ: $64$.