Номер 99, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

99. Внести множитель под знак корня:

1) $x\sqrt{2}$, если $x > 0;

2) $x\sqrt{2}$, если $x < 0;

3) $-a\sqrt{3}$, если $a \le 0;

4) $-a\sqrt{3}$, если $a \ge 0;

5) $a^2b\sqrt{b}$, если $a < 0, b > 0;

6) $a^3b\sqrt{-b}$, если $a < 0, b \le 0.

1) Чтобы внести множитель $x$ под знак корня в выражении $x\sqrt{2}$ при условии $x > 0$, нужно возвести его в квадрат и умножить на подкоренное выражение. Так как по условию $x$ — положительное число ($x > 0$), знак перед корнем не изменится.

Представим $x$ в виде корня: $x = \sqrt{x^2}$.

Тогда выражение примет вид:

$x\sqrt{2} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{x^2 \cdot 2} = \sqrt{2x^2}$.

Ответ: $\sqrt{2x^2}$.

2) В данном случае нужно внести множитель $x$ под знак корня в выражении $x\sqrt{2}$ при условии $x < 0$. Так как $x$ — отрицательное число, при внесении его под знак корня перед корнем должен появиться знак "минус".

Для отрицательного числа $x$ справедливо равенство $x = -\sqrt{x^2}$.

Подставим это в исходное выражение:

$x\sqrt{2} = (-\sqrt{x^2}) \cdot \sqrt{2} = -(\sqrt{x^2} \cdot \sqrt{2}) = -\sqrt{x^2 \cdot 2} = -\sqrt{2x^2}$.

Ответ: $-\sqrt{2x^2}$.

3) Нужно внести множитель под знак корня в выражении $-a\sqrt{3}$ при условии $a \le 0$.

Рассмотрим множитель перед корнем: $-a$. Поскольку по условию $a \le 0$, то $-a \ge 0$. Это означает, что множитель $-a$ является неотрицательным.

Неотрицательный множитель можно внести под знак корня, возведя его в квадрат:

$-a\sqrt{3} = \sqrt{(-a)^2 \cdot 3} = \sqrt{a^2 \cdot 3} = \sqrt{3a^2}$.

Ответ: $\sqrt{3a^2}$.

4) Нужно внести множитель под знак корня в выражении $-a\sqrt{3}$ при условии $a \ge 0$.

В этом случае множитель $a$ является неотрицательным. Знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносится множитель $a$.

$-a\sqrt{3} = - (a\sqrt{3})$.

Поскольку $a \ge 0$, то $a = \sqrt{a^2}$.

$- (a\sqrt{3}) = - (\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{3}) = -\sqrt{a^2 \cdot 3} = -\sqrt{3a^2}$.

Ответ: $-\sqrt{3a^2}$.

5) Нужно внести множитель под знак корня в выражении $a^2b\sqrt{b}$ при условии $a < 0, b > 0$.

Определим знак множителя $a^2b$. Так как $a < 0$, то $a^2 > 0$. По условию $b > 0$. Произведение двух положительных чисел положительно, следовательно, $a^2b > 0$.

Так как множитель $a^2b$ положителен, его можно внести под корень, возведя в квадрат:

$a^2b\sqrt{b} = \sqrt{(a^2b)^2 \cdot b} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{a^4 \cdot b^3}$.

Подкоренное выражение $\sqrt{b}$ определено, так как $b > 0$.

Ответ: $\sqrt{a^4b^3}$.

6) Нужно внести множитель под знак корня в выражении $a^3b\sqrt{-b}$ при условии $a < 0, b \le 0$.

Сначала проверим, что выражение имеет смысл. Подкоренное выражение $-b$. Так как $b \le 0$, то $-b \ge 0$, значит, корень определен.

Теперь определим знак множителя $a^3b$. По условию $a < 0$, следовательно $a^3 < 0$. По условию $b \le 0$.

Если $b < 0$, то $a^3b > 0$ (произведение двух отрицательных чисел).

Если $b = 0$, то $a^3b = 0$.

Таким образом, множитель $a^3b$ является неотрицательным ($a^3b \ge 0$).

Вносим неотрицательный множитель под знак корня, возводя его в квадрат:

$a^3b\sqrt{-b} = \sqrt{(a^3b)^2 \cdot (-b)} = \sqrt{(a^3)^2 \cdot b^2 \cdot (-b)} = \sqrt{a^6 \cdot b^2 \cdot (-b)} = \sqrt{-a^6b^3}$.

Ответ: $\sqrt{-a^6b^3}$.