Номер 102, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

102. Найти среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел:

1) 12 и 3;

2) 0,6 и 5,4;

3) $\frac{7}{8}$ и $3\frac{1}{2}$;

4) $\frac{1}{3}$ и 0,03.

Выяснить, в каком случае среднее арифметическое двух положительных чисел равно их среднему геометрическому.

1) Для чисел 12 и 3:

Среднее арифметическое вычисляется по формуле $A = \frac{a+b}{2}$.

$A = \frac{12 + 3}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$

Среднее геометрическое вычисляется по формуле $G = \sqrt{a \cdot b}$.

$G = \sqrt{12 \cdot 3} = \sqrt{36} = 6$

Ответ: среднее арифметическое равно 7,5; среднее геометрическое равно 6.

2) Для чисел 0,6 и 5,4:

Среднее арифметическое:

$A = \frac{0,6 + 5,4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Среднее геометрическое:

$G = \sqrt{0,6 \cdot 5,4} = \sqrt{3,24} = 1,8$

Ответ: среднее арифметическое равно 3; среднее геометрическое равно 1,8.

3) Для чисел $\frac{7}{8}$ и $3\frac{1}{2}$:

Сначала представим смешанное число $3\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$.

Среднее арифметическое:

$A = \frac{\frac{7}{8} + \frac{7}{2}}{2} = \frac{\frac{7}{8} + \frac{28}{8}}{2} = \frac{\frac{35}{8}}{2} = \frac{35}{16} = 2\frac{3}{16}$

Среднее геометрическое:

$G = \sqrt{\frac{7}{8} \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$

Ответ: среднее арифметическое равно $\frac{35}{16}$; среднее геометрическое равно $\frac{7}{4}$.

4) Для чисел $\frac{1}{3}$ и 0,03:

Сначала представим десятичную дробь 0,03 в виде обыкновенной: $0,03 = \frac{3}{100}$.

Среднее арифметическое:

$A = \frac{\frac{1}{3} + \frac{3}{100}}{2} = \frac{\frac{100}{300} + \frac{9}{300}}{2} = \frac{\frac{109}{300}}{2} = \frac{109}{600}$

Среднее геометрическое:

$G = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{100}} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10}$

Ответ: среднее арифметическое равно $\frac{109}{600}$; среднее геометрическое равно $\frac{1}{10}$.

Выяснить, в каком случае среднее арифметическое двух положительных чисел равно их среднему геометрическому.

Пусть даны два положительных числа $a$ и $b$. Их среднее арифметическое равно $\frac{a+b}{2}$, а среднее геометрическое равно $\sqrt{ab}$.

Чтобы найти условие их равенства, приравняем эти два выражения:

$\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$

Поскольку $a$ и $b$ положительны, обе части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:

$(\frac{a+b}{2})^2 = (\sqrt{ab})^2$

$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} = ab$

Умножим обе части уравнения на 4:

$a^2 + 2ab + b^2 = 4ab$

Перенесем $4ab$ в левую часть уравнения:

$a^2 + 2ab - 4ab + b^2 = 0$

$a^2 - 2ab + b^2 = 0$

Левая часть является полным квадратом разности $(a-b)^2$:

$(a-b)^2 = 0$

Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю. Следовательно:

$a - b = 0$

$a = b$

Таким образом, равенство достигается только тогда, когда числа равны между собой.

Ответ: Среднее арифметическое двух положительных чисел равно их среднему геометрическому в том и только в том случае, если эти числа равны друг другу.