Номер 104, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

104. Доказать, что для любых $a > 0$ и $b > 0$ верно неравенство:

1) $ab \geq 2\sqrt{ab-1};$

2) $\frac{a}{b} \geq 2 - \frac{b}{a}$.

Докажем неравенство $ab \ge 2\sqrt{ab-1}$ для $a > 0, b > 0$.
Область допустимых значений для этого неравенства определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ab-1 \ge 0$, что эквивалентно $ab \ge 1$. Доказательство будем проводить при этом условии.
Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$ab - 2\sqrt{ab-1} \ge 0$
Для того чтобы выделить полный квадрат, представим $ab$ в виде суммы $(ab-1) + 1$:
$(ab-1) - 2\sqrt{ab-1} + 1 \ge 0$
Левая часть этого неравенства представляет собой формулу квадрата разности. Если сделать замену $y = \sqrt{ab-1}$, то неравенство примет вид $y^2 - 2y + 1 \ge 0$.
Свернем левую часть по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:
$(\sqrt{ab-1} - 1)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Поскольку мы рассматриваем случай, когда $ab \ge 1$, выражение $\sqrt{ab-1}$ является действительным числом. Следовательно, полученное неравенство всегда верно. Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство верно для всех $a$ и $b$, при которых оно имеет смысл.

Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $\frac{a}{b} \ge 2 - \frac{b}{a}$ для $a > 0, b > 0$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:
$\frac{a}{b} - 2 + \frac{b}{a} \ge 0$
Приведем слагаемые в левой части к общему знаменателю $ab$. По условию $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, их произведение $ab$ также строго положительно.
$\frac{a \cdot a}{ab} - \frac{2 \cdot ab}{ab} + \frac{b \cdot b}{ab} \ge 0$
$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab} \ge 0$
Числитель дроби является полным квадратом разности $(a-b)^2$:
$\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$
Проанализируем полученное неравенство:
1. Числитель $(a-b)^2$ есть квадрат действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a-b)^2 \ge 0$.
2. Знаменатель $ab$ является произведением двух положительных чисел, поэтому он строго положителен: $ab > 0$.
Частное от деления неотрицательного числа на положительное число всегда является неотрицательным. Таким образом, неравенство $\frac{(a-b)^2}{ab} \ge 0$ верно для любых $a > 0, b > 0$.
Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно.

Ответ: Неравенство доказано.