Номер 110, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

110. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, найти корни уравнения:

1) $x^2 + 5x + 6 = 0;$

2) $x^2 - 3x - 4 = 0;$

3) $x^2 + 3x - 4 = 0.$

1) $x^2 + 5x + 6 = 0$

Данное уравнение является приведенным квадратным уравнением вида $x^2 + px + q = 0$, где коэффициент при $x$ равен $p = 5$, а свободный член $q = 6$. Согласно теореме, обратной теореме Виета, если существуют числа $x_1$ и $x_2$, для которых выполняются условия:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$
то эти числа являются корнями данного уравнения.
В нашем случае ищем два числа, сумма которых равна $-5$, а произведение равно $6$:
$x_1 + x_2 = -5$
$x_1 \cdot x_2 = 6$
Подберем пары целых чисел, произведение которых дает 6. Это могут быть (1; 6), (-1; -6), (2; 3), (-2; -3). Теперь проверим, какая из этих пар в сумме дает -5:
$1 + 6 = 7 \neq -5$
$-1 + (-6) = -7 \neq -5$
$2 + 3 = 5 \neq -5$
$-2 + (-3) = -5$
Эта пара удовлетворяет обоим условиям. Следовательно, корнями уравнения являются числа -2 и -3.
Ответ: -3; -2.

2) $x^2 - 3x - 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, где $p = -3$ и $q = -4$. По теореме, обратной теореме Виета, ищем корни $x_1$ и $x_2$, которые удовлетворяют системе уравнений:
$x_1 + x_2 = -(-3) = 3$
$x_1 \cdot x_2 = -4$
Найдем пары целых чисел, произведение которых равно -4. Так как произведение отрицательное, числа должны иметь разные знаки. Возможные пары: (1; -4), (-1; 4), (2; -2). Проверим их сумму:
$1 + (-4) = -3 \neq 3$
$-1 + 4 = 3$
Эта пара подходит.
$2 + (-2) = 0 \neq 3$
Таким образом, корнями уравнения являются числа -1 и 4.
Ответ: -1; 4.

3) $x^2 + 3x - 4 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, в котором $p = 3$ и $q = -4$. Используя теорему, обратную теореме Виета, найдем корни $x_1$ и $x_2$, для которых:
$x_1 + x_2 = -3$
$x_1 \cdot x_2 = -4$
Рассмотрим пары целых чисел, произведение которых равно -4. Как и в предыдущем пункте, это пары (1; -4), (-1; 4), (2; -2). Проверим сумму для каждой пары, чтобы она равнялась -3:
$1 + (-4) = -3$
Эта пара удовлетворяет условию.
$-1 + 4 = 3 \neq -3$
$2 + (-2) = 0 \neq -3$
Значит, корнями уравнения являются числа 1 и -4.
Ответ: -4; 1.