Номер 114, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

114. Решить уравнение:

1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0;$

2) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0;$

3) $x^4 + 2x^2 - 15 = 0;$

4) $x^4 + x^2 - 6 = 0.$

1) $x^4 - 7x^2 + 12 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $y = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $y \ge 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 7y + 12 = 0$

Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Отсюда легко найти корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = 4$.

Либо можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2}$

$y_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3$

$y_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4$

Оба найденных значения для $y$ (3 и 4) удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

1. Если $y = 3$, то $x^2 = 3$, откуда $x = \pm\sqrt{3}$.

2. Если $y = 4$, то $x^2 = 4$, откуда $x = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.

Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $\{-2; -\sqrt{3}; \sqrt{3}; 2\}$.

2) $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $y = x^2$, при этом $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$y^2 - 10y + 9 = 0$

По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = 10$, а произведение $y_1 \cdot y_2 = 9$. Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 9$.

Оба корня положительны, поэтому подходят под условие $y \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1. $x^2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} = \pm 1$.

2. $x^2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} = \pm 3$.

Уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $\{-3; -1; 1; 3\}$.

3) $x^4 + 2x^2 - 15 = 0$

Введем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Уравнение преобразуется в квадратное:

$y^2 + 2y - 15 = 0$

Решим его через дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

$y_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 8}{2}$

$y_1 = \frac{-2 - 8}{2} = -5$

$y_2 = \frac{-2 + 8}{2} = 3$

Корень $y_1 = -5$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому является посторонним.

Остается один подходящий корень $y_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

$x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.

Уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $\{-\sqrt{3}; \sqrt{3}\}$.

4) $x^4 + x^2 - 6 = 0$

Сделаем замену $y = x^2$, ($y \ge 0$).

Получим квадратное уравнение:

$y^2 + y - 6 = 0$

По теореме Виета, $y_1 + y_2 = -1$ и $y_1 \cdot y_2 = -6$. Корни: $y_1 = -3$, $y_2 = 2$.

Корень $y_1 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому отбрасываем его.

Используем корень $y_2 = 2$.

Выполним обратную замену:

$x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

Уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $\{-\sqrt{2}; \sqrt{2}\}$.