Номер 120, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

120. Моторная лодка проплыла по течению реки до ближайшей пристани 22 км и после двухчасовой стоянки вернулась обратно. Найти скорость лодки в стоячей воде, если на весь путь ушло 8,4 ч, а скорость течения реки 3 км/ч.

Для решения задачи введем переменную $x$ – искомая скорость лодки в стоячей воде (собственная скорость лодки) в км/ч.

Согласно условию, нам известны:

• расстояние в одну сторону $S = 22$ км;
• скорость течения реки $v_{теч} = 3$ км/ч;
• время стоянки $t_{стоянки} = 2$ ч;
• общее время, затраченное на весь путь, $t_{общ} = 8,4$ ч.

Сначала определим время, которое лодка непосредственно находилась в движении. Для этого вычтем время стоянки из общего времени:

$t_{движ} = t_{общ} - t_{стоянки} = 8,4 - 2 = 6,4$ ч.

Скорость лодки при движении по течению реки складывается из ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{по\;теч} = x + v_{теч} = x + 3$ км/ч.

Скорость лодки при движении против течения реки равна разности ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{против\;теч} = x - v_{теч} = x - 3$ км/ч.

Чтобы лодка могла вернуться, ее собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 3$.

Время, затраченное на путь по течению, можно найти по формуле $t = S/v$:

$t_{по\;теч} = \frac{S}{v_{по\;теч}} = \frac{22}{x + 3}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь против течения:

$t_{против\;теч} = \frac{S}{v_{против\;теч}} = \frac{22}{x - 3}$ ч.

Общее время движения лодки является суммой времени движения по течению и против течения:

$t_{движ} = t_{по\;теч} + t_{против\;теч}$

Составим уравнение, подставив известные и выраженные величины:

$6,4 = \frac{22}{x + 3} + \frac{22}{x - 3}$

Решим полученное уравнение. Приведем правую часть к общему знаменателю $(x+3)(x-3)$:

$6,4 = \frac{22(x - 3) + 22(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)}$

$6,4 = \frac{22x - 66 + 22x + 66}{x^2 - 9}$

$6,4 = \frac{44x}{x^2 - 9}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$6,4(x^2 - 9) = 44x$

$6,4x^2 - 57,6 = 44x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$6,4x^2 - 44x - 57,6 = 0$

Для удобства вычислений умножим все уравнение на 10:

$64x^2 - 440x - 576 = 0$

Можно заметить, что все коэффициенты делятся на 8. Разделим уравнение на 8 для его упрощения:

$8x^2 - 55x - 72 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$a = 8$, $b = -55$, $c = -72$

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-72) = 3025 + 2304 = 5329$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{5329} = 73$.

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{55 + 73}{2 \cdot 8} = \frac{128}{16} = 8$

$x_2 = \frac{55 - 73}{2 \cdot 8} = \frac{-18}{16} = -1,125$

Скорость лодки не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -1,125$ не соответствует условию задачи. Корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию $x > 3$.

Таким образом, скорость лодки в стоячей воде составляет 8 км/ч.

Выполним проверку:
Скорость по течению: $8 + 3 = 11$ км/ч.
Время в пути по течению: $22 / 11 = 2$ ч.
Скорость против течения: $8 - 3 = 5$ км/ч.
Время в пути против течения: $22 / 5 = 4,4$ ч.
Общее время с учетом стоянки: $2 + 4,4 + 2 = 8,4$ ч.
Полученное время совпадает с условием, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 8 км/ч.