Номер 119, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

119. Расстояние от города до деревни 36 км. Один из велосипедистов преодолел его на 1 ч быстрее другого. Найти скорости велосипедистов, если скорость одного из них на 6 км/ч больше скорости другого.

Пусть скорость одного (более медленного) велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость другого (более быстрого) велосипедиста равна $(x + 6)$ км/ч, так как по условию она на 6 км/ч больше.

Расстояние от города до деревни составляет 36 км. Время, которое затратил на этот путь первый (медленный) велосипедист, равно $t_1 = \frac{36}{x}$ ч. Время, которое затратил второй (быстрый) велосипедист, равно $t_2 = \frac{36}{x+6}$ ч.

Известно, что один из велосипедистов преодолел расстояние на 1 час быстрее другого. Это означает, что разница во времени их движения составляет 1 час. Так как второй велосипедист движется быстрее, его время в пути будет меньше. Составим уравнение, вычитая из времени более медленного велосипедиста время более быстрого:

$t_1 - t_2 = 1$

$\frac{36}{x} - \frac{36}{x+6} = 1$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+6)$ и умножим обе части уравнения на него, учитывая, что $x > 0$ (скорость не может быть отрицательной или равной нулю):

$36(x+6) - 36x = x(x+6)$

Раскроем скобки:

$36x + 216 - 36x = x^2 + 6x$

Приведем подобные члены и получим квадратное уравнение:

$x^2 + 6x - 216 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$

$\sqrt{D} = \sqrt{900} = 30$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-6 + 30}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-6 - 30}{2 \cdot 1} = \frac{-36}{2} = -18$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -18$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость медленного велосипедиста равна 12 км/ч.

Теперь найдем скорость второго, более быстрого велосипедиста:

$x + 6 = 12 + 6 = 18$ км/ч.

Проверим: время медленного велосипедиста $36 / 12 = 3$ ч, время быстрого велосипедиста $36 / 18 = 2$ ч. Разница во времени $3 - 2 = 1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость одного велосипедиста 12 км/ч, а скорость другого — 18 км/ч.