Номер 126, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

126. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - 2y - 2 = 0, \\ x^2 + y^2 - 5 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 4, \\ xy = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - y = 17, \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - y = 40, \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 20. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - 2y - 2 = 0 \\ x^2 + y^2 - 5 = 0 \end{cases} $
Выразим $x^2$ из первого уравнения:
$x^2 = 2y + 2$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$(2y + 2) + y^2 - 5 = 0$
Упростим и получим квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 + 2y - 3 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-3$. Корни:
$y_1 = 1$
$y_2 = -3$
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого значения $y$.
1. При $y = 1$:
$x^2 = 2(1) + 2 = 4$
$x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Получаем две пары решений: $(2, 1)$ и $(-2, 1)$.
2. При $y = -3$:
$x^2 = 2(-3) + 2 = -6 + 2 = -4$
Уравнение $x^2 = -4$ не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(2, 1), (-2, 1)$.

2)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - 2xy + y^2 = 4 \\ xy = 3 \end{cases} $
Заметим, что левая часть первого уравнения является полным квадратом разности:
$x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$
Тогда первое уравнение принимает вид:
$(x - y)^2 = 4$
Отсюда следует, что $x - y = 2$ или $x - y = -2$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1:
$ \begin{cases} x - y = 2 \\ xy = 3 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x = y + 2$ и подставим во второе:
$(y + 2)y = 3$
$y^2 + 2y - 3 = 0$
Корни этого уравнения: $y_1 = 1$, $y_2 = -3$.
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$. Решение: $(3, 1)$.
Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 2 = -1$. Решение: $(-1, -3)$.
Случай 2:
$ \begin{cases} x - y = -2 \\ xy = 3 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x = y - 2$ и подставим во второе:
$(y - 2)y = 3$
$y^2 - 2y - 3 = 0$
Корни этого уравнения: $y_3 = 3$, $y_4 = -1$.
Если $y_3 = 3$, то $x_3 = 3 - 2 = 1$. Решение: $(1, 3)$.
Если $y_4 = -1$, то $x_4 = -1 - 2 = -3$. Решение: $(-3, -1)$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем четыре пары.

Ответ: $(3, 1), (-1, -3), (1, 3), (-3, -1)$.

3)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 17 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} $
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Первое уравнение можно представить как разность квадратов:
$x - y = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
Подставим в это выражение известные значения из системы:
$17 = (1)(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
Отсюда получаем:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 17$
Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 17 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения:
$(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 17 + 1$
$2\sqrt{x} = 18$
$\sqrt{x} = 9$
Возведем в квадрат, чтобы найти $x$:
$x = 9^2 = 81$
Подставим значение $\sqrt{x} = 9$ в первое уравнение новой системы:
$9 + \sqrt{y} = 17$
$\sqrt{y} = 17 - 9 = 8$
Возведем в квадрат, чтобы найти $y$:
$y = 8^2 = 64$
Проверим найденное решение $(81, 64)$ в исходной системе. $81 - 64 = 17$ (верно), $\sqrt{81} - \sqrt{64} = 9 - 8 = 1$ (верно).

Ответ: $(81, 64)$.

4)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x - y = 40 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 20 \end{cases} $
ОДЗ: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Используем формулу разности квадратов для первого уравнения:
$x - y = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})$
Подставим известные значения из системы:
$40 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(20)$
Разделим обе части на 20, чтобы найти $\sqrt{x} - \sqrt{y}$:
$\sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{40}{20} = 2$
Получаем новую систему:
$ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 20 \\ \sqrt{x} - \sqrt{y} = 2 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения:
$(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 20 + 2$
$2\sqrt{x} = 22$
$\sqrt{x} = 11$
$x = 11^2 = 121$
Подставим $\sqrt{x} = 11$ в первое уравнение новой системы:
$11 + \sqrt{y} = 20$
$\sqrt{y} = 20 - 11 = 9$
$y = 9^2 = 81$
Проверим найденное решение $(121, 81)$ в исходной системе. $121 - 81 = 40$ (верно), $\sqrt{121} + \sqrt{81} = 11 + 9 = 20$ (верно).

Ответ: $(121, 81)$.