Номер 122, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

122. При одновременной работе двух труб бассейн наполняется за 7 ч 18 мин. За какое время наполняется бассейн каждой трубой в отдельности, если через одну трубу он наполняется на 6 ч быстрее, чем через другую?

Это задача на совместную работу. Для ее решения примем весь объем бассейна за 1. Обозначим время, необходимое для наполнения бассейна каждой трубой в отдельности, через переменные.

Пусть $x$ часов — время, за которое бассейн наполняет более медленная труба. Тогда, согласно условию, более быстрая труба наполняет бассейн за $(x-6)$ часов. Важно отметить, что время работы не может быть отрицательным, поэтому $x-6 > 0$, следовательно, $x > 6$.

Производительность (скорость наполнения) медленной трубы составляет $\frac{1}{x}$ бассейна в час, а производительность быстрой трубы — $\frac{1}{x-6}$ бассейна в час.

При одновременной работе их производительности складываются, и общая производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-6}$ бассейна в час.

Время совместной работы составляет 7 ч 18 мин. Переведем это значение в часы для удобства вычислений:

$18 \text{ мин} = \frac{18}{60} \text{ ч} = \frac{3}{10} \text{ ч} = 0.3 \text{ ч}$

Таким образом, общее время работы $T = 7 + 0.3 = 7.3 = \frac{73}{10}$ часа.

Общая производительность также может быть выражена как $\frac{1}{T}$. Следовательно, $\frac{1}{73/10} = \frac{10}{73}$ бассейна в час.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для общей производительности:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-6} = \frac{10}{73}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{x-6+x}{x(x-6)} = \frac{10}{73}$

$\frac{2x-6}{x^2-6x} = \frac{10}{73}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$73(2x-6) = 10(x^2-6x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$146x - 438 = 10x^2 - 60x$

$10x^2 - 60x - 146x + 438 = 0$

$10x^2 - 206x + 438 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2:

$5x^2 - 103x + 219 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-103)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 219 = 10609 - 4380 = 6229$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{103 \pm \sqrt{6229}}{2 \cdot 5} = \frac{103 \pm \sqrt{6229}}{10}$

Мы получили два корня:

$x_1 = \frac{103 + \sqrt{6229}}{10}$ и $x_2 = \frac{103 - \sqrt{6229}}{10}$

Оценим значение $\sqrt{6229}$. Так как $78^2=6084$ и $79^2=6241$, то $\sqrt{6229} \approx 78.9$.

$x_1 \approx \frac{103+78.9}{10} \approx 18.19$

$x_2 \approx \frac{103-78.9}{10} \approx 2.41$

Вспомним, что у нас есть ограничение $x>6$. Корень $x_2 \approx 2.41$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Единственное подходящее решение — $x_1$.

Итак, время наполнения бассейна медленной трубой равно $x = \frac{103 + \sqrt{6229}}{10}$ часов.

Время наполнения бассейна быстрой трубой равно $x-6$:

$x-6 = \frac{103 + \sqrt{6229}}{10} - 6 = \frac{103 + \sqrt{6229} - 60}{10} = \frac{43 + \sqrt{6229}}{10}$ часов.

Ответ: более быстрая труба наполняет бассейн за $\frac{43 + \sqrt{6229}}{10}$ часов, а более медленная — за $\frac{103 + \sqrt{6229}}{10}$ часов.