Номер 121, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

121. Две бригады, работая вместе, выполнили работу за 12 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной из них на это требуется на 10 дней меньше, чем другой?

Примем всю работу за 1 (единицу).

Пусть $x$ — это количество дней, за которое может выполнить всю работу одна из бригад (назовем ее второй, более медленной). Тогда ее производительность (часть работы, выполняемая за один день) составляет $\frac{1}{x}$.

По условию задачи, другой (первой, более быстрой) бригаде на выполнение этой работы требуется на 10 дней меньше, то есть $x-10$ дней. Соответственно, ее производительность равна $\frac{1}{x-10}$.

Работая вместе, бригады выполнили работу за 12 дней. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей, а также равна $\frac{1}{12}$ (так как вся работа выполнена за 12 дней).

Составим уравнение, приравняв сумму производительностей к их совместной производительности:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-10} = \frac{1}{12}$

Для решения уравнения необходимо, чтобы $x \neq 0$ и $x \neq 10$. Поскольку $x$ — это количество дней, оно должно быть положительным. Кроме того, так как $x-10$ также является количеством дней, то $x-10 > 0$, следовательно, $x > 10$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x-10)$:
$\frac{x-10+x}{x(x-10)} = \frac{1}{12}$
$\frac{2x-10}{x^2-10x} = \frac{1}{12}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$12(2x-10) = 1(x^2-10x)$
$24x-120 = x^2-10x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$x^2-10x-24x+120=0$
$x^2-34x+120=0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.
Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2-4ac = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120 = 1156 - 480 = 676$
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{34 + 26}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{34 - 26}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

Теперь проверим корни на соответствие условию $x > 10$.
Корень $x_1=30$ удовлетворяет этому условию ($30 > 10$).
Корень $x_2=4$ не удовлетворяет этому условию ($4 \ngtr 10$), поэтому он является посторонним и не может быть решением задачи.

Итак, время выполнения работы одной (более медленной) бригадой составляет 30 дней.
Тогда время выполнения работы другой (более быстрой) бригадой составляет $x-10 = 30-10=20$ дней.

Ответ: одной бригаде для выполнения работы потребовалось бы 20 дней, а другой — 30 дней.