Номер 127, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

127. Не вычисляя корней уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$, найти:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 + x_2^2$;

3) $x_1^3 + x_2^3$.

Для решения задачи, не вычисляя корней $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$, воспользуемся теоремой Виета.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета устанавливает следующие соотношения между корнями $x_1$, $x_2$ и коэффициентами:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 3x - 4 = 0$ коэффициенты равны $p = -3$ и $q = -4$.

Следовательно, можем найти сумму и произведение корней:

$x_1 + x_2 = -(-3) = 3$

$x_1 x_2 = -4$

Теперь, используя эти значения, найдем требуемые выражения.

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Для вычисления данного выражения приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$.

Теперь подставим известные значения суммы и произведения корней: $\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$

2) $x_1^2 + x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, воспользуемся тождеством, которое следует из формулы квадрата суммы: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2$.

Выразим из него искомую сумму: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$.

Подставим значения: $x_1^2 + x_2^2 = (3)^2 - 2(-4) = 9 - (-8) = 9 + 8 = 17$.

Ответ: $17$

3) $x_1^3 + x_2^3$

Для нахождения суммы кубов корней можно использовать формулу разложения на множители: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2)$. Мы можем преобразовать выражение в скобках, используя результат из предыдущего пункта: $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)((x_1^2 + x_2^2) - x_1 x_2)$.

Подставим все известные значения: $x_1^2 + x_2^2 = 17$, $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 x_2 = -4$.

$x_1^3 + x_2^3 = (3)(17 - (-4)) = 3(17 + 4) = 3 \cdot 21 = 63$.

Альтернативно, можно использовать формулу $x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1 x_2(x_1 + x_2)$. Подстановка значений дает тот же результат: $x_1^3 + x_2^3 = (3)^3 - 3(-4)(3) = 27 - (-36) = 27 + 36 = 63$.

Ответ: $63$