Номер 129, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

129. Решить уравнение:

1) $x\sqrt{x-1}=0;$

2) $(x+3)\sqrt{1+x}=0;$

1) $x\sqrt{x}-1=0$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, получаем неравенство:
$x \ge 0$.

Перенесем $-1$ в правую часть уравнения, чтобы изолировать выражение с переменной:
$x\sqrt{x} = 1$.

Представим левую часть уравнения в виде степени. Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и то, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$, получаем:
$x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+\frac{1}{2}} = x^{3/2}$.
Уравнение принимает вид:
$x^{3/2} = 1$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень, обратную $3/2$, то есть в степень $2/3$:
$(x^{3/2})^{2/3} = 1^{2/3}$
$x^1 = 1$
$x = 1$.

Также можно решить это уравнение, возведя обе части уравнения $x\sqrt{x}=1$ в квадрат. Так как в области допустимых значений ($x \ge 0$) обе части уравнения неотрицательны, это преобразование является равносильным и не приведет к появлению посторонних корней.
$(x\sqrt{x})^2 = 1^2$
$x^2 \cdot (\sqrt{x})^2 = 1$
$x^2 \cdot x = 1$
$x^3 = 1$
$x = \sqrt[3]{1}$
$x = 1$.

Полученный корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$), следовательно, является решением уравнения.
Ответ: $1$.

2) $(x+3)\sqrt{1+x}=0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$1+x \ge 0$
$x \ge -1$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл (то есть определен).
Таким образом, мы можем приравнять каждый множитель к нулю по отдельности:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.
$x+3=0 \implies x=-3$.

Случай 2: Второй множитель равен нулю.
$\sqrt{1+x}=0$.
Возводим обе части в квадрат:
$1+x=0 \implies x=-1$.

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge -1$).
- Проверяем корень $x=-3$. Так как $-3 < -1$, этот корень не входит в область допустимых значений. Следовательно, $x=-3$ является посторонним корнем.
- Проверяем корень $x=-1$. Так как $-1 \ge -1$, этот корень входит в область допустимых значений. Следовательно, $x=-1$ является решением уравнения.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $-1$.