Номер 130, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

130. Решить относительно x уравнение:

1) $ax^2 + 5x = 0;$
2) $ax^2 - 3x = 0;$
3) $x^2 - a = 0;$
4) $2x^2 + a = 0.$

1) Решим уравнение $ax^2 + 5x = 0$.

Это неполное квадратное уравнение с параметром $a$. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(ax + 5) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1) $x = 0$

2) $ax + 5 = 0$

Первый корень $x=0$ существует при любом значении параметра $a$. Решение второго уравнения зависит от значения $a$.

Случай 1: $a = 0$.

Если $a = 0$, исходное уравнение становится линейным: $0 \cdot x^2 + 5x = 0$, то есть $5x = 0$. В этом случае единственным решением является $x = 0$.

Случай 2: $a \neq 0$.

Если $a \neq 0$, то из второго уравнения $ax + 5 = 0$ находим второй корень:

$ax = -5$

$x = -\frac{5}{a}$

Таким образом, при $a \neq 0$ уравнение имеет два корня.

Ответ: если $a=0$, то $x=0$; если $a \neq 0$, то $x_1=0$, $x_2 = -\frac{5}{a}$.

2) Решим уравнение $ax^2 - 3x = 0$.

Это уравнение решается аналогично предыдущему. Вынесем $x$ за скобки:

$x(ax - 3) = 0$

Получаем два случая:

1) $x = 0$

2) $ax - 3 = 0$

Рассмотрим значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$.

Уравнение принимает вид $-3x = 0$, откуда $x = 0$.

Случай 2: $a \neq 0$.

При $a \neq 0$ уравнение имеет два корня. Первый корень $x_1 = 0$. Второй находим из уравнения $ax - 3 = 0$:

$ax = 3$

$x_2 = \frac{3}{a}$

Ответ: если $a=0$, то $x=0$; если $a \neq 0$, то $x_1=0$, $x_2 = \frac{3}{a}$.

3) Решим уравнение $x^2 - a = 0$.

Перенесем параметр $a$ в правую часть:

$x^2 = a$

Решение этого уравнения зависит от знака параметра $a$.

Случай 1: $a > 0$.

Если $a$ — положительное число, уравнение имеет два действительных корня:

$x = \pm\sqrt{a}$

Случай 2: $a = 0$.

Если $a = 0$, уравнение принимает вид $x^2 = 0$. У него есть один корень:

$x = 0$

Случай 3: $a < 0$.

Если $a$ — отрицательное число, уравнение $x^2 = a$ не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: если $a > 0$, то $x = \pm\sqrt{a}$; если $a = 0$, то $x = 0$; если $a < 0$, то действительных корней нет.

4) Решим уравнение $2x^2 + a = 0$.

Выразим $x^2$ из уравнения:

$2x^2 = -a$

$x^2 = -\frac{a}{2}$

Решение зависит от знака выражения в правой части, то есть от знака $a$.

Случай 1: $a < 0$.

Если $a$ — отрицательное число (например, $a=-2$), то выражение $-\frac{a}{2}$ будет положительным. Уравнение будет иметь два действительных корня:

$x = \pm\sqrt{-\frac{a}{2}}$

Случай 2: $a = 0$.

Если $a = 0$, уравнение принимает вид $2x^2 = 0$, или $x^2=0$. У него один корень:

$x = 0$

Случай 3: $a > 0$.

Если $a$ — положительное число, то выражение $-\frac{a}{2}$ будет отрицательным. В этом случае уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: если $a < 0$, то $x = \pm\sqrt{-\frac{a}{2}}$; если $a = 0$, то $x = 0$; если $a > 0$, то действительных корней нет.