Номер 137, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

137. Найти координаты вершины параболы:

1) $y = (x - 1)^2 + 5$;

2) $y = -(x + 2)^2 - 3$;

3) $y = -(x + 3)^2$;

4) $y = x^2 - 7$;

5) $y = 2x^2 - 4x + 1$;

6) $y = 3x^2 + 6x - 7$;

7) $y = -4x^2 + 16x - 2$;

8) $y = -5x^2 - 20x - 13$.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ можно найти двумя основными способами, в зависимости от формы записи уравнения.

Способ 1: Вершинная форма. Если уравнение параболы представлено в виде $y = a(x - h)^2 + k$, то координаты ее вершины — это $(h, k)$.

Способ 2: Стандартная форма. Если уравнение параболы представлено в виде $y = ax^2 + bx + c$, то координаты ее вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$ (то есть, для нахождения $y_0$ нужно подставить найденное значение $x_0$ в исходное уравнение).

1) $y = (x - 1)^2 + 5$

Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=1$, $h=1$ и $k=5$.

Следовательно, координаты вершины: $(h, k) = (1, 5)$.

Ответ: $(1; 5)$

2) $y = -(x + 2)^2 - 3$

Уравнение представлено в вершинной форме. Его можно записать как $y = -1 \cdot (x - (-2))^2 + (-3)$.

Здесь $a=-1$, $h=-2$ и $k=-3$.

Координаты вершины: $(h, k) = (-2, -3)$.

Ответ: $(-2; -3)$

3) $y = -(x + 3)^2$

Уравнение представлено в вершинной форме. Его можно записать как $y = -1 \cdot (x - (-3))^2 + 0$.

Здесь $a=-1$, $h=-3$ и $k=0$.

Координаты вершины: $(h, k) = (-3, 0)$.

Ответ: $(-3; 0)$

4) $y = x^2 - 7$

Уравнение представлено в стандартной форме $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=0$, $c=-7$.

Находим абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.

Находим ординату вершины, подставив $x_0 = 0$: $y_0 = (0)^2 - 7 = -7$.

Координаты вершины: $(0, -7)$.

Ответ: $(0; -7)$

5) $y = 2x^2 - 4x + 1$

Уравнение представлено в стандартной форме $y = ax^2 + bx + c$, где $a=2$, $b=-4$, $c=1$.

Находим абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Находим ординату вершины, подставив $x_0 = 1$: $y_0 = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$.

Координаты вершины: $(1, -1)$.

Ответ: $(1; -1)$

6) $y = 3x^2 + 6x - 7$

Уравнение представлено в стандартной форме $y = ax^2 + bx + c$, где $a=3$, $b=6$, $c=-7$.

Находим абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 3} = -\frac{6}{6} = -1$.

Находим ординату вершины, подставив $x_0 = -1$: $y_0 = 3(-1)^2 + 6(-1) - 7 = 3 - 6 - 7 = -10$.

Координаты вершины: $(-1, -10)$.

Ответ: $(-1; -10)$

7) $y = -4x^2 + 16x - 2$

Уравнение представлено в стандартной форме $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-4$, $b=16$, $c=-2$.

Находим абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{16}{2 \cdot (-4)} = -\frac{16}{-8} = 2$.

Находим ординату вершины, подставив $x_0 = 2$: $y_0 = -4(2)^2 + 16(2) - 2 = -4 \cdot 4 + 32 - 2 = -16 + 32 - 2 = 14$.

Координаты вершины: $(2, 14)$.

Ответ: $(2; 14)$

8) $y = -5x^2 - 20x - 13$

Уравнение представлено в стандартной форме $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-5$, $b=-20$, $c=-13$.

Находим абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-20}{2 \cdot (-5)} = \frac{20}{-10} = -2$.

Находим ординату вершины, подставив $x_0 = -2$: $y_0 = -5(-2)^2 - 20(-2) - 13 = -5 \cdot 4 + 40 - 13 = -20 + 40 - 13 = 7$.

Координаты вершины: $(-2, 7)$.

Ответ: $(-2; 7)$