Номер 143, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

143. Определить наименьшее (наибольшее) значение функции:

1) $y = -5(x + 3)^2 + 1;$

2) $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 4;$

3) $y = x^2 - 4x + 9;$

4) $y = -x^2 + 6x - 1.$

Для нахождения наименьшего или наибольшего значения квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ необходимо найти координаты ее вершины $(x_v, y_v)$. Значение $y_v$ и будет искомым экстремумом. Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх и функция имеет наименьшее значение. Если $a < 0$, ветви направлены вниз и функция имеет наибольшее значение. Для функции, представленной в виде $y = a(x-h)^2 + k$, вершина находится в точке $(h, k)$, и $k$ является наименьшим (при $a > 0$) или наибольшим (при $a < 0$) значением.

1) $y = -5(x + 3)^2 + 1$

Функция представлена в виде $y = a(x-h)^2+k$, где $a = -5$, $h = -3$, $k = 1$.

Так как коэффициент $a = -5 < 0$, ветви параболы направлены вниз, следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Координаты вершины — $(-3, 1)$. Наибольшее значение функции равно ординате вершины, то есть $1$. Оно достигается при $x=-3$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 1.

2) $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 4$

Функция представлена в виде $y = a(x-h)^2+k$, где $a = \frac{1}{2}$, $h = 2$, $k = -4$.

Так как коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх, следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координаты вершины — $(2, -4)$. Наименьшее значение функции равно ординате вершины, то есть $-4$. Оно достигается при $x=2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4.

3) $y = x^2 - 4x + 9$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2+bx+c$, с коэффициентами $a = 1$, $b = -4$, $c = 9$.

Поскольку $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх, значит, функция имеет наименьшее значение.

Для нахождения вершины можно использовать формулу $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Теперь найдем наименьшее значение функции, подставив $x_v = 2$ в исходное уравнение:

$y_{min} = (2)^2 - 4(2) + 9 = 4 - 8 + 9 = 5$.

Другой способ — выделить полный квадрат: $y = (x^2 - 4x + 4) + 5 = (x-2)^2 + 5$. Из этой формы видно, что наименьшее значение функции равно 5.

Ответ: наименьшее значение функции равно 5.

4) $y = -x^2 + 6x - 1$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2+bx+c$, с коэффициентами $a = -1$, $b = 6$, $c = -1$.

Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз, значит, функция имеет наибольшее значение.

Найдем абсциссу вершины по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.

Теперь найдем наибольшее значение функции, подставив $x_v = 3$ в исходное уравнение:

$y_{max} = -(3)^2 + 6(3) - 1 = -9 + 18 - 1 = 8$.

Другой способ — выделить полный квадрат: $y = -(x^2 - 6x) - 1 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 1 = -(x-3)^2 + 9 - 1 = -(x-3)^2 + 8$. Из этой формы видно, что наибольшее значение функции равно 8.

Ответ: наибольшее значение функции равно 8.