Номер 141, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

141. Найти наибольшее значение квадратичной функции:

1) $y = -x^2 + 1$;

2) $y = -3x^2 - 1$;

3) $y = -(x + 1)^2 + 2$;

4) $y = -2(x - 3)^2 + 6$.

1)

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 1$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -1$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле для абсциссы $x_0 = -b/(2a)$.
В нашем случае $a=-1, b=0, c=1$.
Находим абсциссу вершины: $x_0 = -0 / (2 \cdot (-1)) = 0$.
Подставим $x_0 = 0$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины, которая и является наибольшим значением функции:
$y_{наиб} = y(0) = -(0)^2 + 1 = 1$.
Также можно рассуждать иначе: выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), следовательно, выражение $-x^2$ всегда неположительно ($-x^2 \le 0$). Его наибольшее значение равно 0 и достигается при $x=0$. Тогда наибольшее значение функции $y = -x^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$.
Ответ: 1

2)

Рассмотрим функцию $y = -3x^2 - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент $a = -3 < 0$. Наибольшее значение функция принимает в вершине.
Здесь $a=-3, b=0, c=-1$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -0 / (2 \cdot (-3)) = 0$.
Ордината вершины (наибольшее значение):
$y_{наиб} = y(0) = -3(0)^2 - 1 = -1$.
Альтернативное рассуждение: так как $x^2 \ge 0$, то $-3x^2 \le 0$. Наибольшее значение $-3x^2$ равно 0 (при $x=0$). Тогда наибольшее значение функции $y = -3x^2 - 1$ равно $0 - 1 = -1$.
Ответ: -1

3)

Рассмотрим функцию $y = -(x + 1)^2 + 2$. Функция представлена в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — это координаты вершины параболы.
В данном случае $a = -1$, $h = -1$ (так как $x - (-1) = x+1$), $k = 2$.
Поскольку коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз, и её наибольшее значение равно ординате вершины $k$.
$y_{наиб} = k = 2$. Это значение достигается при $x = h = -1$.
Альтернативное рассуждение: квадрат любого выражения неотрицателен, поэтому $(x+1)^2 \ge 0$. Тогда $-(x+1)^2 \le 0$. Наибольшее значение выражения $-(x+1)^2$ равно 0 (при $x=-1$). Следовательно, наибольшее значение функции $y = -(x+1)^2 + 2$ равно $0+2=2$.
Ответ: 2

4)

Рассмотрим функцию $y = -2(x - 3)^2 + 6$. Эта функция также представлена в виде $y = a(x - h)^2 + k$.
Здесь $a = -2$, $h = 3$, $k = 6$.
Коэффициент $a = -2$ отрицателен, значит, ветви параболы направлены вниз, и наибольшее значение функции равно ординате вершины $k$.
$y_{наиб} = k = 6$. Это значение достигается при $x = h = 3$.
Альтернативное рассуждение: выражение $(x-3)^2 \ge 0$. Значит, $-2(x-3)^2 \le 0$. Наибольшее значение выражения $-2(x-3)^2$ равно 0 (при $x=3$). Следовательно, наибольшее значение всей функции $y = -2(x-3)^2 + 6$ равно $0+6=6$.
Ответ: 6