Номер 139, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

139. Построить график функции:

1) $y = x^2 + 2x - 4$; 2) $y = -x^2 + 4x - 5$;

3) $y = -x^2 - x + 2$; 4) $y = x^2 + 4x - 5$.

Найти:

а) координаты вершины параболы;

б) нули функции;

в) интервалы знакопостоянства функции;

г) наибольшее или наименьшее значение функции.

1) $y = x^2 + 2x - 4$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1, b=2, c=-4$. Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

а) координаты вершины параболы
Координата $x_v$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Координату $y_v$ найдем, подставив $x_v$ в уравнение функции: $y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 4 = 1 - 2 - 4 = -5$.
Ответ: Координаты вершины параболы $(-1, -5)$.

б) нули функции
Для нахождения нулей функции решим уравнение $x^2 + 2x - 4 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$.
Ответ: Нули функции $x_1 = -1 - \sqrt{5}$, $x_2 = -1 + \sqrt{5}$.

в) интервалы знакопостоянства функции
Так как ветви параболы направлены вверх и нули функции $x_1 = -1 - \sqrt{5}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{5}$, то:
Функция положительна ($y > 0$) при $x \in (-\infty, -1 - \sqrt{5}) \cup (-1 + \sqrt{5}, +\infty)$.
Функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -1 - \sqrt{5}) \cup (-1 + \sqrt{5}, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$.

г) наибольшее или наименьшее значение функции
Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Наибольшего значения нет.
$y_{min} = y_v = -5$.
Ответ: Наименьшее значение функции $y_{min} = -5$.

Для построения графика используются найденные ключевые точки: вершина $(-1, -5)$, нули функции (точки пересечения с осью Ox) $(-1 - \sqrt{5}, 0)$ и $(-1 + \sqrt{5}, 0)$, и точка пересечения с осью OY $(0, -4)$.

2) $y = -x^2 + 4x - 5$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-1, b=4, c=-5$. Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

а) координаты вершины параболы
Координата $x_v$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
Координату $y_v$ найдем, подставив $x_v$: $y_v = -(2)^2 + 4(2) - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$.
Ответ: Координаты вершины параболы $(2, -1)$.

б) нули функции
Для нахождения нулей функции решим уравнение $-x^2 + 4x - 5 = 0$ или $x^2 - 4x + 5 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: Нулей у функции нет.

в) интервалы знакопостоянства функции
Так как ветви параболы направлены вниз и нулей у функции нет, вся парабола находится ниже оси Ox. Следовательно, функция всегда отрицательна.
Ответ: $y < 0$ при $x \in (-\infty, +\infty)$.

г) наибольшее или наименьшее значение функции
Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Наименьшего значения нет.
$y_{max} = y_v = -1$.
Ответ: Наибольшее значение функции $y_{max} = -1$.

Для построения графика используются найденные ключевые точки: вершина $(2, -1)$ и точка пересечения с осью OY $(0, -5)$. Парабола не пересекает ось Ox.

3) $y = -x^2 - x + 2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-1, b=-1, c=2$. Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

а) координаты вершины параболы
Координата $x_v$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -0.5$.
Координата $y_v$ вершины: $y_v = -(-0.5)^2 - (-0.5) + 2 = -0.25 + 0.5 + 2 = 2.25$.
Ответ: Координаты вершины параболы $(-0.5, 2.25)$.

б) нули функции
Решим уравнение $-x^2 - x + 2 = 0$ или $x^2 + x - 2 = 0$.
По теореме Виета корни $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.
Ответ: Нули функции $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.

в) интервалы знакопостоянства функции
Ветви параболы направлены вниз, нули функции $x = -2$ и $x = 1$.
Функция положительна ($y > 0$) между корнями: при $x \in (-2, 1)$.
Функция отрицательна ($y < 0$) вне интервала между корнями: при $x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-2, 1)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$.

г) наибольшее или наименьшее значение функции
Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Наименьшего значения нет.
$y_{max} = y_v = 2.25$.
Ответ: Наибольшее значение функции $y_{max} = 2.25$.

Для построения графика используются найденные ключевые точки: вершина $(-0.5, 2.25)$, нули функции $(-2, 0)$ и $(1, 0)$, и точка пересечения с осью OY $(0, 2)$.

4) $y = x^2 + 4x - 5$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1, b=4, c=-5$. Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

а) координаты вершины параболы
Координата $x_v$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Координата $y_v$ вершины: $y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Ответ: Координаты вершины параболы $(-2, -9)$.

б) нули функции
Решим уравнение $x^2 + 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета корни $x_1 = -5$, $x_2 = 1$.
Ответ: Нули функции $x_1 = -5$, $x_2 = 1$.

в) интервалы знакопостоянства функции
Ветви параболы направлены вверх, нули функции $x = -5$ и $x = 1$.
Функция положительна ($y > 0$) вне интервала между корнями: при $x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)$.
Функция отрицательна ($y < 0$) между корнями: при $x \in (-5, 1)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-5, 1)$.

г) наибольшее или наименьшее значение функции
Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Наибольшего значения нет.
$y_{min} = y_v = -9$.
Ответ: Наименьшее значение функции $y_{min} = -9$.

Для построения графика используются найденные ключевые точки: вершина $(-2, -9)$, нули функции $(-5, 0)$ и $(1, 0)$, и точка пересечения с осью OY $(0, -5)$.