Номер 144, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

144. Найти значение x, при котором функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. Найти это значение функции:

1) $y = x^2 - 4x + 1$;

2) $y = x^2 + 6x - 3$;

3) $y = -x^2 + 2x + 3$;

4) $y = -x^2 - 2x + 5$;

5) $y = -2x^2 + 4x + 1$;

6) $y = 2x^2 + 6x - 1.

Для нахождения наибольшего или наименьшего значения квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ необходимо найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Значение $x_0$ — это точка, в которой достигается экстремум (максимум или минимум), а $y_0$ — это и есть наибольшее или наименьшее значение функции.

Координата $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, и в вершине функция достигает своего наименьшего значения.

Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз, и в вершине функция достигает своего наибольшего значения.

1) $y = x^2 - 4x + 1$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 1$, $b = -4$, $c = 1$.

Поскольку $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Найдем наименьшее значение функции, подставив $x_0 = 2$:

$y_{наим} = y(2) = (2)^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$.

Ответ: при $x = 2$ функция принимает наименьшее значение, равное $-3$.

2) $y = x^2 + 6x - 3$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 1$, $b = 6$, $c = -3$.

Поскольку $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

Найдем наименьшее значение функции, подставив $x_0 = -3$:

$y_{наим} = y(-3) = (-3)^2 + 6(-3) - 3 = 9 - 18 - 3 = -12$.

Ответ: при $x = -3$ функция принимает наименьшее значение, равное $-12$.

3) $y = -x^2 + 2x + 3$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$.

Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.

Найдем наибольшее значение функции, подставив $x_0 = 1$:

$y_{наиб} = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Ответ: при $x = 1$ функция принимает наибольшее значение, равное $4$.

4) $y = -x^2 - 2x + 5$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -1$, $b = -2$, $c = 5$.

Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$.

Найдем наибольшее значение функции, подставив $x_0 = -1$:

$y_{наиб} = y(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 5 = -1 + 2 + 5 = 6$.

Ответ: при $x = -1$ функция принимает наибольшее значение, равное $6$.

5) $y = -2x^2 + 4x + 1$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -2$, $b = 4$, $c = 1$.

Поскольку $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$.

Найдем наибольшее значение функции, подставив $x_0 = 1$:

$y_{наиб} = y(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = -2 + 4 + 1 = 3$.

Ответ: при $x = 1$ функция принимает наибольшее значение, равное $3$.

6) $y = 2x^2 + 6x - 1$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 2$, $b = 6$, $c = -1$.

Поскольку $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$.

Найдем наименьшее значение функции, подставив $x_0 = -1.5$:

$y_{наим} = y(-1.5) = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) - 1 = 2(2.25) - 9 - 1 = 4.5 - 9 - 1 = -5.5$.

Ответ: при $x = -1.5$ функция принимает наименьшее значение, равное $-5.5$.