Номер 151, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

151. Построить график функции:

1) $y = |x^2 - 1|;$

2) $y = |4 - x^2|;$

3) $y = |(x - 1)(x + 3)|;$

4) $y = |x(x - 2)|;$

5) $y = x^2 - 2|x| - 3;$

6) $y = x^2 + |x| - 2.$

1) y = |x² - 1|;

Для построения графика функции $y = |x^2 - 1|$ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Построить график параболы $y = x^2 - 1$. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вниз по оси Oy.
- Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$.
- Корни (точки пересечения с осью Ox) находятся из уравнения $x^2 - 1 = 0$, то есть $x = 1$ и $x = -1$.
2. Применить операцию модуля ко всей функции. Это означает, что часть графика, которая находится ниже оси Ox (где значения $y$ отрицательны), должна быть симметрично отражена относительно оси Ox.
- Участок параболы между $x = -1$ и $x = 1$ лежит ниже оси Ox.
- Этот участок отражается вверх. Таким образом, для $x \in (-1, 1)$ график будет соответствовать функции $y = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$. Вершина в точке $(0, -1)$ перейдет в точку $(0, 1)$.
- Части графика при $x \le -1$ и $x \ge 1$ остаются без изменений, так как на этих интервалах $x^2 - 1 \ge 0$.

Ответ: График состоит из двух частей параболы $y = x^2 - 1$ на интервалах $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$, и части параболы $y = 1 - x^2$ на интервале $(-1, 1)$.

2) y = |4 - x²|;

Построение графика функции $y = |4 - x^2|$ аналогично предыдущему пункту:
1. Построить график параболы $y = 4 - x^2$. Это парабола $y = -x^2$ (ветви направлены вниз), смещенная на 4 единицы вверх по оси Oy.
- Вершина параболы находится в точке $(0, 4)$.
- Корни (точки пересечения с осью Ox) находятся из уравнения $4 - x^2 = 0$, то есть $x = 2$ и $x = -2$.
2. Применить операцию модуля. Часть графика, лежащая ниже оси Ox, отражается относительно этой оси.
- Парабола $y = 4 - x^2$ принимает отрицательные значения при $x < -2$ и $x > 2$.
- На этих интервалах график будет соответствовать функции $y = -(4 - x^2) = x^2 - 4$.
- Часть графика на интервале $[-2, 2]$ остается без изменений, так как здесь $4 - x^2 \ge 0$.

Ответ: График состоит из части параболы $y = 4 - x^2$ на интервале $[-2, 2]$ и частей параболы $y = x^2 - 4$ на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$.

3) y = |(x - 1)(x + 3)|;

1. Сначала построим график функции под модулем: $y = (x - 1)(x + 3)$. Раскроем скобки: $y = x^2 + 3x - x - 3 = x^2 + 2x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вверх.
- Корни уравнения $(x - 1)(x + 3) = 0$ равны $x = 1$ и $x = -3$. Это точки пересечения с осью Ox.
- Координата x вершины параболы: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2} = -1$.
- Координата y вершины: $y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Вершина находится в точке $(-1, -4)$.
2. Теперь применим модуль ко всей функции: $y = |x^2 + 2x - 3|$. Часть графика, где $y < 0$, симметрично отражается относительно оси Ox.
- Функция отрицательна между корнями, то есть на интервале $(-3, 1)$.
- Этот участок отражается вверх, и его уравнение становится $y = -(x^2 + 2x - 3) = -x^2 - 2x + 3$. Вершина $(-1, -4)$ переходит в точку $(-1, 4)$.
- На интервалах $(-\infty, -3]$ и $[1, +\infty)$ график остается неизменным.

Ответ: График состоит из частей параболы $y = x^2 + 2x - 3$ на интервалах $(-\infty, -3]$ и $[1, +\infty)$, и части параболы $y = -x^2 - 2x + 3$ на интервале $(-3, 1)$.

4) y = |x(x - 2)|;

1. Построим график функции $y = x(x - 2) = x^2 - 2x$. Это парабола с ветвями вверх.
- Корни уравнения $x(x - 2) = 0$ равны $x = 0$ и $x = 2$.
- Координата x вершины: $x_v = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1$.
- Координата y вершины: $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина находится в точке $(1, -1)$.
2. Применим модуль: $y = |x^2 - 2x|$. Отразим отрицательную часть графика ($y < 0$) относительно оси Ox.
- Функция отрицательна на интервале $(0, 2)$.
- На этом интервале график будет соответствовать функции $y = -(x^2 - 2x) = -x^2 + 2x$. Вершина $(1, -1)$ перейдет в точку $(1, 1)$.
- На интервалах $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$ график не изменится.

Ответ: График состоит из частей параболы $y = x^2 - 2x$ на интервалах $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$, и части параболы $y = -x^2 + 2x$ на интервале $(0, 2)$.

5) y = x² - 2|x| - 3;

Данная функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 - 2|-x| - 3 = x^2 - 2|x| - 3 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и затем отразить его симметрично относительно оси Oy.
1. Рассмотрим случай $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид $y = x^2 - 2x - 3$.
- Это парабола с ветвями вверх. Ее вершина находится в точке с абсциссой $x_v = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1$. Ордината вершины $y_v = 1^2 - 2(1) - 3 = -4$. Точка $(1, -4)$.
- Найдем пересечение с осью Ox: $x^2 - 2x - 3 = 0$, корни $x=3$ и $x=-1$. Так как мы рассматриваем $x \ge 0$, нас интересует только корень $x=3$.
- Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = -3$.
- Таким образом, для $x \ge 0$ строим часть параболы с вершиной в $(1, -4)$, проходящую через точки $(0, -3)$ и $(3, 0)$.
2. Отображаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.
- Вершина $(1, -4)$ отобразится в точку $(-1, -4)$.
- Точка пересечения с осью Ox $(3, 0)$ отобразится в точку $(-3, 0)$.
- Для $x < 0$ функция имеет вид $y = x^2 + 2x - 3$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он состоит из части параболы $y = x^2 - 2x - 3$ для $x \ge 0$ и части параболы $y = x^2 + 2x - 3$ для $x < 0$. График имеет форму "W" с двумя минимумами в точках $(1, -4)$ и $(-1, -4)$.

6) y = x² + |x| - 2.

Эта функция также является четной, так как $x^2 = |x|^2$, и ее можно записать как $y = |x|^2 + |x| - 2$. График симметричен относительно оси Oy.
1. Построим график для $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$, и функция имеет вид $y = x^2 + x - 2$.
- Это парабола с ветвями вверх.
- Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = -2$. Это будет точка минимума всего графика.
- Найдем пересечение с осью Ox: $x^2 + x - 2 = 0$, корни $x=1$ и $x=-2$. Так как мы рассматриваем $x \ge 0$, берем только корень $x=1$.
- Вершина параболы $y = x^2 + x - 2$ находится в точке $x_v = \frac{-1}{2 \cdot 1} = -0.5$, которая не входит в область $x \ge 0$. На промежутке $[0, +\infty)$ функция возрастает.
- Итак, для $x \ge 0$ строим часть параболы, выходящую из точки $(0, -2)$ и проходящую через точку $(1, 0)$.
2. Отражаем полученный график симметрично относительно оси Oy.
- Точка пересечения $(1, 0)$ отобразится в точку $(-1, 0)$.
- Для $x < 0$ функция имеет вид $y = x^2 - x - 2$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он состоит из части параболы $y = x^2 + x - 2$ для $x \ge 0$ и части параболы $y = x^2 - x - 2$ для $x < 0$. Минимальное значение функция достигает в точке $(0, -2)$.