Номер 155, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

155. Методом интервалов решить неравенство:

1) $(x+5)(x+2) > 0$;

2) $(x+1)(x-4) \le 0$;

3) $\frac{x-7}{x+8} \le 0$;

4) $\frac{x+6}{x-10} \ge 0$;

5) $(x-1)x(x+3) \le 0$;

6) $x(x+2)(x-3) > 0$;

7) $\frac{2x^2-x}{x+1} > 0$;

8) $\frac{3x^2+x}{x-2} \le 0$.

1) $(x+5)(x+2) > 0$

Сначала найдем нули левой части неравенства. Для этого решим уравнение $(x+5)(x+2) = 0$. Корнями являются $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки $-5$ и $-2$ будут выколотыми (не входят в решение). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x+5)(x+2)$ на каждом интервале. В крайнем правом интервале (при $x > -2$) все множители положительны, значит, и всё произведение положительно. При переходе через каждый корень нечетной кратности (в данном случае оба корня имеют кратность 1), знак выражения меняется. Таким образом, знаки на интервалах будут чередоваться: $+, -, +$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть те, где стоит знак "+". Это интервалы $(-\infty; -5)$ и $(-2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$

2) $(x+1)(x-4) \le 0$

Найдем нули выражения, решив уравнение $(x+1)(x-4) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки $-1$ и $4$ будут закрашенными (входят в решение). Они разбивают ось на три интервала.

Определим знаки на интервалах. При $x > 4$ (например, $x=5$) выражение $(5+1)(5-4) = 6 > 0$, знак "+". Так как кратность корней равна 1, знаки чередуются: $+, -, +$.

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю ($\le 0$). Выбираем интервал со знаком "-" и включаем его концы. Это интервал $[-1; 4]$.

Ответ: $x \in [-1; 4]$

3) $\frac{x-7}{x+8} \le 0$

Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x-7=0 \Rightarrow x=7$. Нуль знаменателя: $x+8=0 \Rightarrow x=-8$.

Отметим точки на числовой оси. Точка $x=7$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=-8$ всегда будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю. Точки разбивают ось на три интервала.

Определим знаки дроби на интервалах. При $x>8$ (например, $x=10$) дробь $\frac{10-7}{10+8} = \frac{3}{18} > 0$, знак "+". Знаки чередуются: $+, -, +$.

Нас интересует, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервал со знаком "-", включая нуль числителя. Это $(-8; 7]$.

Ответ: $x \in (-8; 7]$

4) $\frac{x+6}{x-10} \ge 0$

Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x+6=0 \Rightarrow x=-6$. Нуль знаменателя: $x-10=0 \Rightarrow x=10$.

Отметим точки на числовой оси. Точка $x=-6$ будет закрашенной ($\ge$). Точка $x=10$ (нуль знаменателя) будет выколотой.

Определим знаки на интервалах. При $x > 10$ (например, $x=11$) дробь $\frac{11+6}{11-10} = 17 > 0$, знак "+". Знаки чередуются: $+, -, +$.

Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю ($\ge 0$). Выбираем интервалы со знаком "+", включая нуль числителя. Это $(-\infty; -6]$ и $(10; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup (10; +\infty)$

5) $(x-1)x(x+3) \le 0$

Найдем нули выражения, решив уравнение $(x-1)x(x+3) = 0$. Корнями являются $x_1 = 1$, $x_2 = 0$, $x_3 = -3$.

Отметим точки $-3, 0, 1$ на числовой оси. Все точки закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\le$). Они разбивают ось на четыре интервала.

Определим знаки на интервалах. При $x > 1$ (например, $x=2$) выражение $(2-1)(2)(2+3) = 1 \cdot 2 \cdot 5 = 10 > 0$, знак "+". Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются: $-, +, -, +$.

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю ($\le 0$). Выбираем интервалы со знаком "-" и включаем концы. Это $(-\infty; -3]$ и $[0; 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [0; 1]$

6) $x(x+2)(x-3) > 0$

Найдем нули выражения, решив уравнение $x(x+2)(x-3) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$, $x_2 = -2$, $x_3 = 3$.

Отметим точки $-2, 0, 3$ на числовой оси. Все точки выколотые, так как неравенство строгое ($>$). Они разбивают ось на четыре интервала.

Определим знаки на интервалах. При $x > 3$ (например, $x=4$) выражение $4(4+2)(4-3) = 4 \cdot 6 \cdot 1 = 24 > 0$, знак "+". Знаки чередуются: $-, +, -, +$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля ($>0$). Выбираем интервалы со знаком "+". Это $(-2; 0)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2; 0) \cup (3; +\infty)$

7) $\frac{2x^2-x}{x+1} > 0$

Сначала преобразуем числитель, вынеся общий множитель: $2x^2-x = x(2x-1)$. Неравенство принимает вид $\frac{x(2x-1)}{x+1} > 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $x=0$ и $2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$. Нуль знаменателя: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

Отметим точки $-1, 0, 0.5$ на числовой оси. Все точки выколотые, так как неравенство строгое ($>$).

Определим знаки на интервалах. При $x > 0.5$ (например, $x=1$) выражение $\frac{1(2 \cdot 1-1)}{1+1} = \frac{1}{2} > 0$, знак "+". Знаки чередуются: $-, +, -, +$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля ($>0$). Это $(-1; 0)$ и $(0.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (0.5; +\infty)$

8) $\frac{3x^2+x}{x-2} \le 0$

Преобразуем числитель: $3x^2+x = x(3x+1)$. Неравенство примет вид $\frac{x(3x+1)}{x-2} \le 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $x=0$ и $3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{3}$. Нуль знаменателя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$.

Отметим точки на числовой оси. Точки $x=0$ и $x=-\frac{1}{3}$ закрашенные ($\le$). Точка $x=2$ выколотая.

Определим знаки на интервалах. При $x > 2$ (например, $x=3$) выражение $\frac{3(3 \cdot 3+1)}{3-2} = \frac{3 \cdot 10}{1} > 0$, знак "+". Знаки чередуются: $-, +, -, +$.

Нас интересует, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Выбираем интервалы со знаком "-" и включаем закрашенные точки. Это $(-\infty; -\frac{1}{3}]$ и $[0; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup [0; 2)$