Номер 156, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

156. Выяснить, при каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{5x^2 + 9x - 2}$;

2) $\sqrt{-3x^2 + x + 4}$;

3) $\frac{1}{\sqrt{-x^2 + 2x - 1}}$;

4) $\frac{5}{\sqrt{x^2 + 6x + 9}}$.

1) Выражение $\sqrt{5x^2 + 9x - 2}$ имеет смысл (определено), когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
$5x^2 + 9x - 2 \ge 0$
Это квадратичное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 + 9x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Графиком функции $y = 5x^2 + 9x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент $a=5 > 0$). Следовательно, значения функции неотрицательны на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{1}{5}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{1}{5}, +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt{-3x^2 + x + 4}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
$-3x^2 + x + 4 \ge 0$
Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$3x^2 - x - 4 \le 0$
Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 4 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 7}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Графиком функции $y = 3x^2 - x - 4$ является парабола с ветвями вверх ($a=3 > 0$). Следовательно, значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \in [-1, \frac{4}{3}]$.
Ответ: $x \in [-1, \frac{4}{3}]$.

3) Выражение $\frac{1}{\sqrt{-x^2 + 2x - 1}}$ имеет смысл, когда выражение под корнем в знаменателе строго больше нуля (подкоренное выражение не может быть отрицательным, а знаменатель не может быть равен нулю).
$-x^2 + 2x - 1 > 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x^2 - 2x + 1 < 0$
Левая часть неравенства является полным квадратом разности:
$(x - 1)^2 < 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$. Таким образом, неравенство $(x - 1)^2 < 0$ не выполняется ни при каких значениях $x$.
Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

4) Выражение $\frac{5}{\sqrt{x^2 + 6x + 9}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля.
$x^2 + 6x + 9 > 0$
Левая часть неравенства является полным квадратом суммы:
$(x + 3)^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Выражение $(x + 3)^2$ равно нулю только в одном случае: при $x + 3 = 0$, то есть при $x = -3$. Во всех остальных случаях $(x + 3)^2$ строго больше нуля.
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = -3$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$.