Номер 163, страница 55 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

163. В одной системе координат построить графики функций:

1) $y=\sqrt{x}$ и $y=-\sqrt{x}$;

2) $y=\frac{1}{x^2}$ и $y=-\frac{1}{x^2}$.

1) $y=\sqrt{x}$ и $y=-\sqrt{x}$

Для построения графиков этих двух функций в одной системе координат, рассмотрим каждую функцию отдельно.

Построение графика функции $y=\sqrt{x}$:

1. Область определения и область значений. Функция определена для всех неотрицательных значений $x$, то есть $x \ge 0$. Область значений также неотрицательна: $y \ge 0$. Таким образом, график функции будет расположен в первой координатной четверти.

2. Контрольные точки. Найдем несколько точек, принадлежащих графику:

• при $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка (0; 0).
• при $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка (1; 1).
• при $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Точка (4; 2).
• при $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$. Точка (9; 3).

3. Построение. Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. Получим ветвь параболы, выходящую из начала координат.

Построение графика функции $y=-\sqrt{x}$:

1. Область определения и область значений. Область определения та же: $x \ge 0$. Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $-\sqrt{x} \le 0$. Следовательно, область значений $y \le 0$. График этой функции будет расположен в четвертой координатной четверти.

2. Связь с графиком $y=\sqrt{x}$. Заметим, что для каждого значения $x$ из области определения, ордината графика $y=-\sqrt{x}$ противоположна по знаку ординате графика $y=\sqrt{x}$. Это означает, что график функции $y=-\sqrt{x}$ симметричен графику функции $y=\sqrt{x}$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

3. Контрольные точки. Используем те же значения $x$:

• при $x=0$, $y=-\sqrt{0}=0$. Точка (0; 0).
• при $x=1$, $y=-\sqrt{1}=-1$. Точка (1; -1).
• при $x=4$, $y=-\sqrt{4}=-2$. Точка (4; -2).
• при $x=9$, $y=-\sqrt{9}=-3$. Точка (9; -3).

4. Построение. Отметим эти точки и соединим их плавной кривой. Получим ветвь параболы, симметричную первой относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ является ветвью параболы, расположенной в первой координатной четверти. График функции $y=-\sqrt{x}$ является ветвью параболы, расположенной в четвертой координатной четверти. Вместе эти два графика образуют параболу $y^2=x$, которая симметрична относительно оси Ox.

2) $y=\frac{1}{x^2}$ и $y=-\frac{1}{x^2}$

Рассмотрим построение графиков этих двух функций.

Построение графика функции $y=\frac{1}{x^2}$:

1. Область определения и область значений. Функция определена для всех $x$, кроме $x=0$. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Поскольку $x^2>0$ для любого $x \ne 0$, то и $y=\frac{1}{x^2}>0$. Область значений: $(0; +\infty)$. График расположен в первой и второй координатных четвертях.

2. Симметрия. Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

3. Асимптоты. При $x \to 0$, $y \to +\infty$. Значит, ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. Значит, ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой.

4. Контрольные точки. В силу симметрии достаточно найти точки для $x>0$:

• при $x=1$, $y=\frac{1}{1^2}=1$. Точки (1; 1) и (-1; 1).
• при $x=2$, $y=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$. Точки (2; 0.25) и (-2; 0.25).
• при $x=0.5$, $y=\frac{1}{(0.5)^2}=4$. Точки (0.5; 4) и (-0.5; 4).

5. Построение. Построим ветвь графика в первой четверти, используя точки и учитывая асимптоты. Затем симметрично отразим ее относительно оси Oy, чтобы получить вторую ветвь во второй четверти.

Построение графика функции $y=-\frac{1}{x^2}$:

1. Область определения и область значений. Область определения та же: $x \ne 0$. Поскольку $\frac{1}{x^2}>0$, то $y=-\frac{1}{x^2}<0$. Область значений: $(-\infty; 0)$. График расположен в третьей и четвертой координатных четвертях.

2. Связь с графиком $y=\frac{1}{x^2}$. Ординаты графика $y=-\frac{1}{x^2}$ противоположны по знаку ординатам графика $y=\frac{1}{x^2}$ при тех же значениях $x$. Следовательно, график функции $y=-\frac{1}{x^2}$ симметричен графику $y=\frac{1}{x^2}$ относительно оси абсцисс (оси Ox).

3. Контрольные точки:

• при $x=\pm1$, $y=-1$. Точки (1; -1) и (-1; -1).
• при $x=\pm2$, $y=-\frac{1}{4}$. Точки (2; -0.25) и (-2; -0.25).
• при $x=\pm0.5$, $y=-4$. Точки (0.5; -4) и (-0.5; -4).

4. Построение. Можно построить график по точкам, либо просто отразить уже построенный график $y=\frac{1}{x^2}$ симметрично относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y=\frac{1}{x^2}$ состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях, симметричных относительно оси Oy. График функции $y=-\frac{1}{x^2}$ также состоит из двух ветвей, но они расположены в III и IV четвертях. Графики обеих функций симметричны друг другу относительно оси Ox. Ось Oy является вертикальной асимптотой, а ось Ox — горизонтальной асимптотой для обоих графиков.