Номер 159, страница 55 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

159. Найти область определения функции:

1) $y = \frac{2x-1}{x^2-5x+6}$;

2) $y = \frac{5-x}{2x^2+3x-2}$;

3) $y = \sqrt{3x+1}$;

4) $y = \sqrt{7-3x}$;

5) $y = \frac{3}{\sqrt{x-5}}$;

6) $y = \frac{12}{\sqrt{8+x}}$;

7) $y = \sqrt{x}+\sqrt{3-x}$;

8) $y = \sqrt{x-7-\sqrt{x}}$.

1) Область определения функции – это все значения переменной $x$, при которых выражение имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не должен равняться нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение:
$x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Следовательно, область определения функции – это все действительные числа, кроме $x=2$ и $x=3$.
Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) Функция является дробно-рациональной, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю. Найдем недопустимые значения $x$, решив уравнение:
$2x^2 + 3x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, область определения – все действительные числа, за исключением $-2$ и $\frac{1}{2}$.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

3) Данная функция содержит квадратный корень. Область определения функции находится из условия, что выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.
$3x + 1 \ge 0$
$3x \ge -1$
$x \ge -\frac{1}{3}$
Ответ: $[-\frac{1}{3}; +\infty)$.

4) Выражение под знаком квадратного корня должно быть больше или равно нулю. Решим неравенство:
$7 - 3x \ge 0$
$7 \ge 3x$
$x \le \frac{7}{3}$
Ответ: $(-\infty; \frac{7}{3}]$.

5) В данной функции квадратный корень находится в знаменателе. Это накладывает двойное ограничение: подкоренное выражение должно быть неотрицательным (из-за корня) и не равным нулю (из-за знаменателя). Объединив эти условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
$x - 5 > 0$
$x > 5$
Ответ: $(5; +\infty)$.

6) По аналогии с предыдущим примером, квадратный корень находится в знаменателе, поэтому подкоренное выражение должно быть строго положительным.
$8 + x > 0$
$x > -8$
Ответ: $(-8; +\infty)$.

7) Функция представляет собой сумму двух квадратных корней. Область определения будет пересечением областей определения каждого слагаемого. Это значит, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны одновременно. Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} x \ge 0 \\ 3-x \ge 0 \end{cases}$
Из второго неравенства получаем $x \le 3$.
Общим решением системы является пересечение промежутков $[0; +\infty)$ и $(-\infty; 3]$, то есть отрезок $[0; 3]$.
Ответ: $[0; 3]$.

8) Область определения функции – это множество значений $x$, при которых оба подкоренных выражения неотрицательны. Составим и решим систему неравенств:
$\begin{cases} x-7 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases}$
Из первого неравенства получаем $x \ge 7$. Второе неравенство: $x \ge 0$.
Пересечением решений $x \ge 7$ и $x \ge 0$ является промежуток, удовлетворяющий обоим условиям, то есть $x \ge 7$.
Ответ: $[7; +\infty)$.