Номер 165, страница 55 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

165. Найти область определения функции:

1) $y = \sqrt[3]{\frac{5x-3}{x-4}}$;

2) $y = \sqrt{\frac{x^2-5}{x+1}}$.

1) $y = \sqrt[3]{\frac{5x-3}{x-4}}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция содержит корень нечетной степени (кубический корень) и дробь.

1. Кубический корень определен для любого действительного числа. Поэтому подкоренное выражение $\frac{5x-3}{x-4}$ может принимать любые значения.

2. Единственное ограничение накладывается знаменателем дроби: он не должен быть равен нулю.

Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x - 4 \neq 0$ $x \neq 4$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=4$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$

2) $y = \sqrt{\frac{x^2-5}{x+1}}$

Данная функция содержит корень четной степени (квадратный корень) и дробь.

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Эти два условия можно объединить в одно неравенство: $\frac{x^2-5}{x+1} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя: $x^2-5 = 0$ $x^2 = 5$ $x_1 = \sqrt{5}$, $x_2 = -\sqrt{5}$

Найдем нули знаменателя (эти точки будут "выколотыми", так как знаменатель не может быть равен нулю): $x+1 = 0$ $x_3 = -1$

Отметим эти точки на числовой оси: $-\sqrt{5}$, $-1$, $\sqrt{5}$. (Заметим, что $2 < \sqrt{5} < 3$, поэтому $-\sqrt{5} < -1$). Точки $-\sqrt{5}$ и $\sqrt{5}$ будут "закрашенными", так как неравенство нестрогое ($\ge$), а точка $-1$ — "выколотой".

Определим знаки выражения $\frac{x^2-5}{x+1}$ на полученных интервалах:

• При $x \in (\sqrt{5}; +\infty)$, например $x=3$: $\frac{3^2-5}{3+1} = \frac{4}{4} = 1 > 0$. Ставим знак "+".
• При $x \in (-1; \sqrt{5})$, например $x=0$: $\frac{0^2-5}{0+1} = -5 < 0$. Ставим знак "-".
• При $x \in (-\sqrt{5}; -1)$, например $x=-2$: $\frac{(-2)^2-5}{-2+1} = \frac{-1}{-1} = 1 > 0$. Ставим знак "+".
• При $x \in (-\infty; -\sqrt{5})$, например $x=-3$: $\frac{(-3)^2-5}{-3+1} = \frac{4}{-2} = -2 < 0$. Ставим знак "-".

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю (со знаком "+"). Это интервалы $[-\sqrt{5}; -1)$ и $[\sqrt{5}; +\infty)$. Точка $x=-\sqrt{5}$ и $x=\sqrt{5}$ включаются в область определения, а точка $x=-1$ исключается.

Ответ: $D(y) = [-\sqrt{5}; -1) \cup [\sqrt{5}; +\infty)$