Номер 164, страница 55 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

164. В одной системе координат построить графики функций:

1) $y=2x$ и $y=-2x$;

2) $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=-\sqrt[3]{x}$;

3) $y=-x^2$ и $y=-3x^2$;

4) $y=-x^2$ и $y=-\frac{1}{3}x^2$;

5) $y=x^2$ и $y=(x-1)^2$;

6) $y=x^3$ и $y=(x+1)^3$;

7) $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=\sqrt[3]{x-2}$;

8) $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{x-3}$;

9) $y=x^3$ и $y=x^3-2$;

10) $y=x^3$ и $y=x^3+2$.

1) $y=2x$ и $y=-2x$

Обе функции, $y=2x$ и $y=-2x$, являются линейными функциями вида $y=kx$. Их графики — это прямые линии, проходящие через начало координат $(0,0)$.

Для построения графика $y=2x$ найдем вторую точку. Например, при $x=1$, $y=2 \cdot 1 = 2$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(1,2)$.

Для построения графика $y=-2x$ также найдем вторую точку. Например, при $x=1$, $y=-2 \cdot 1 = -2$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0,0)$ и $(1,-2)$.

График функции $y=-2x$ является симметричным отражением графика $y=2x$ относительно оси ординат ($Oy$), а также относительно оси абсцисс ($Ox$).

Ответ: Графики функций — это две прямые, пересекающиеся в начале координат. Прямая $y=2x$ проходит через I и III координатные четверти, а прямая $y=-2x$ — через II и IV. Графики симметричны относительно обеих координатных осей.

2) $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=-\sqrt[3]{x}$

Функция $y=\sqrt[3]{x}$ — это функция кубического корня. Ее график — кубическая парабола, симметричная относительно начала координат. Для построения составим таблицу ключевых точек: $(0,0)$, $(1,1)$, $(8,2)$, $(-1,-1)$, $(-8,-2)$.

График функции $y=-\sqrt[3]{x}$ можно получить из графика $y=\sqrt[3]{x}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс ($Ox$). Каждое значение $y$ для $y=\sqrt[3]{x}$ умножается на $-1$. Ключевые точки для $y=-\sqrt[3]{x}$: $(0,0)$, $(1,-1)$, $(8,-2)$, $(-1,1)$, $(-8,2)$.

Так как $y=-\sqrt[3]{x}$ эквивалентно $y=\sqrt[3]{-x}$, графики также симметричны относительно оси ординат ($Oy$).

Ответ: Графики функций — это две кривые (кубические параболы), проходящие через начало координат и симметричные друг другу относительно осей $Ox$ и $Oy$.

3) $y=-x^2$ и $y=-3x^2$

Обе функции являются квадратичными. Их графики — параболы с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз (так как коэффициент при $x^2$ отрицательный).

График $y=-x^2$ — это стандартная парабола, отраженная относительно оси $Ox$. Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,-1)$, $(-1,-1)$, $(2,-4)$, $(-2,-4)$.

График $y=-3x^2$ получается из графика $y=-x^2$ путем растяжения вдоль оси $Oy$ в 3 раза (относительно оси $Ox$). Это означает, что при том же значении $x$ значение $y$ будет в 3 раза больше по модулю. Парабола станет "уже". Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,-3)$, $(-1,-3)$.

Ответ: Графики функций — это две параболы с общей вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола $y=-3x^2$ является более узкой (растянутой вдоль оси $Oy$) по сравнению с параболой $y=-x^2$.

4) $y=-x^2$ и $y=-\frac{1}{3}x^2$

Обе функции являются квадратичными. Их графики — параболы с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз.

График $y=-x^2$ — это стандартная парабола, отраженная относительно оси $Ox$. Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,-1)$, $(-1,-1)$, $(2,-4)$, $(-2,-4)$.

График $y=-\frac{1}{3}x^2$ получается из графика $y=-x^2$ путем сжатия вдоль оси $Oy$ в 3 раза (к оси $Ox$). Это означает, что при том же значении $x$ значение $y$ будет в 3 раза меньше по модулю. Парабола станет "шире". Ключевые точки: $(0,0)$, $(3,-3)$, $(-3,-3)$.

Ответ: Графики функций — это две параболы с общей вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз. Парабола $y=-\frac{1}{3}x^2$ является более широкой (сжатой к оси $Ox$) по сравнению с параболой $y=-x^2$.

5) $y=x^2$ и $y=(x-1)^2$

Функция $y=x^2$ — стандартная парабола с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,1)$, $(2,4)$, $(-2,4)$.

График функции $y=(x-1)^2$ получается из графика $y=x^2$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс ($Ox$) на 1 единицу вправо. Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x-1)$.

Вершина параболы $y=(x-1)^2$ смещается в точку $(1,0)$. Форма параболы остается той же.

Ответ: Графики функций — это две одинаковые параболы с ветвями вверх. График $y=x^2$ имеет вершину в точке $(0,0)$, а график $y=(x-1)^2$ получен из первого сдвигом на 1 единицу вправо и имеет вершину в точке $(1,0)$.

6) $y=x^3$ и $y=(x+1)^3$

Функция $y=x^3$ — стандартная кубическая парабола, проходящая через начало координат. Точка $(0,0)$ является точкой перегиба. Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,1)$, $(-1,-1)$, $(2,8)$, $(-2,-8)$.

График функции $y=(x+1)^3$ получается из графика $y=x^3$ путем сдвига вдоль оси абсцисс ($Ox$) на 1 единицу влево. Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x+1)$, что соответствует сдвигу на $-1$.

Точка перегиба графика $y=(x+1)^3$ смещается в точку $(-1,0)$. Форма кривой остается той же.

Ответ: Графики функций — это две одинаковые кубические параболы. График $y=x^3$ имеет центр симметрии (точку перегиба) в точке $(0,0)$, а график $y=(x+1)^3$ получен из первого сдвигом на 1 единицу влево и имеет центр симметрии в точке $(-1,0)$.

7) $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=\sqrt[3]{x-2}$

Функция $y=\sqrt[3]{x}$ — функция кубического корня. График проходит через начало координат, которое является точкой перегиба. Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,1)$, $(8,2)$, $(-1,-1)$, $(-8,-2)$.

График функции $y=\sqrt[3]{x-2}$ получается из графика $y=\sqrt[3]{x}$ путем сдвига вдоль оси абсцисс ($Ox$) на 2 единицы вправо. Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x-2)$.

Точка перегиба графика $y=\sqrt[3]{x-2}$ смещается в точку $(2,0)$. Форма кривой остается той же.

Ответ: Графики функций — это две одинаковые кривые кубического корня. График $y=\sqrt[3]{x}$ проходит через точку $(0,0)$, а график $y=\sqrt[3]{x-2}$ получен из первого сдвигом на 2 единицы вправо и проходит через точку $(2,0)$.

8) $y=\sqrt{x}$ и $y=\sqrt{x-3}$

Функция $y=\sqrt{x}$ — стандартная функция квадратного корня. Ее график — ветвь параболы, начинающаяся в точке $(0,0)$ и идущая в I координатную четверть. Область определения: $x \ge 0$. Ключевые точки: $(0,0)$, $(1,1)$, $(4,2)$, $(9,3)$.

График функции $y=\sqrt{x-3}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем сдвига вдоль оси абсцисс ($Ox$) на 3 единицы вправо. Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x-3)$.

Начальная точка графика $y=\sqrt{x-3}$ смещается в точку $(3,0)$. Область определения функции: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.

Ответ: Графики функций — это две одинаковые ветви параболы. График $y=\sqrt{x}$ начинается в точке $(0,0)$, а график $y=\sqrt{x-3}$ получен из первого сдвигом на 3 единицы вправо и начинается в точке $(3,0)$.

9) $y=x^3$ и $y=x^3-2$

Функция $y=x^3$ — стандартная кубическая парабола с центром симметрии (точкой перегиба) в начале координат $(0,0)$.

График функции $y=x^3-2$ получается из графика $y=x^3$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ординат ($Oy$) на 2 единицы вниз. Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x)-2$.

Точка перегиба графика $y=x^3-2$ смещается в точку $(0,-2)$. Форма кривой остается той же.

Ответ: Графики функций — это две одинаковые кубические параболы. График $y=x^3$ имеет центр симметрии в точке $(0,0)$, а график $y=x^3-2$ получен из первого сдвигом на 2 единицы вниз и имеет центр симметрии в точке $(0,-2)$.

10) $y=x^3$ и $y=x^3+2$

Функция $y=x^3$ — стандартная кубическая парабола с центром симметрии (точкой перегиба) в начале координат $(0,0)$.

График функции $y=x^3+2$ получается из графика $y=x^3$ путем сдвига вдоль оси ординат ($Oy$) на 2 единицы вверх. Преобразование имеет вид $f(x) \to f(x)+2$.

Точка перегиба графика $y=x^3+2$ смещается в точку $(0,2)$. Форма кривой остается той же.

Ответ: Графики функций — это две одинаковые кубические параболы. График $y=x^3$ имеет центр симметрии в точке $(0,0)$, а график $y=x^3+2$ получен из первого сдвигом на 2 единицы вверх и имеет центр симметрии в точке $(0,2)$.