Номер 167, страница 56 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

167. Решить графически уравнение:

1) $2x + 1 = \frac{1}{x}$;

2) $1 - x = -\frac{2}{x}$;

3) $x^2 + 2 = \frac{3}{x}$;

4) $\sqrt{x + 1} = x^2 - 1.$

1) Чтобы решить уравнение $2x + 1 = \frac{1}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 2x + 1$ и $y = \frac{1}{x}$.
- График функции $y = 2x + 1$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = 1$; если $x = -1$, то $y = 2(-1) + 1 = -1$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0; 1)$ и $(-1; -1)$.
- График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Она проходит через точки $(1; 1)$, $(0.5; 2)$, $(-1; -1)$ и $(-2; -0.5)$.
Решениями уравнения являются абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих двух графиков. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках.
Координаты точек пересечения: $(-1; -1)$ и $(0.5; 2)$.
Следовательно, абсциссы этих точек равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 0.5$.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 0.5$.

2) Для графического решения уравнения $1 - x = -\frac{2}{x}$ построим графики функций $y = 1 - x$ и $y = -\frac{2}{x}$.
- График функции $y = 1 - x$ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: если $x = 0$, то $y = 1$; если $x = 1$, то $y = 0$. Прямая проходит через точки $(0; 1)$ и $(1; 0)$.
- График функции $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Она проходит через точки $(-1; 2)$, $(-2; 1)$, $(1; -2)$ и $(2; -1)$.
Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках.
Координаты точек пересечения: $(-1; 2)$ и $(2; -1)$.
Следовательно, решения уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = 2$.

3) Чтобы решить уравнение $x^2 + 2 = \frac{3}{x}$ графически, построим графики функций $y = x^2 + 2$ и $y = \frac{3}{x}$.
- График функции $y = x^2 + 2$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Ее вершина находится в точке $(0; 2)$, а ветви направлены вверх.
- График функции $y = \frac{3}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Она проходит, например, через точки $(1; 3)$ и $(3; 1)$.
Поскольку парабола $y = x^2 + 2$ целиком лежит в верхней полуплоскости (все ее значения $y \ge 2$), а ветвь гиперболы $y = \frac{3}{x}$ в III четверти лежит в нижней полуплоскости ($y < 0$ при $x < 0$), то пересечение возможно только в I четверти, где $x > 0$.
Построив графики, мы видим, что они пересекаются в одной точке с координатами $(1; 3)$.
Следовательно, единственное решение уравнения: $x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

4) Для графического решения уравнения $\sqrt{x+1} = x^2 - 1$ построим графики функций $y = \sqrt{x+1}$ и $y = x^2 - 1$.
- График функции $y = \sqrt{x+1}$ определен при $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$. Это ветвь параболы, симметричной относительно оси OX. График получен сдвигом графика $y = \sqrt{x}$ на 1 единицу влево. Он начинается в точке $(-1; 0)$ и проходит через точки $(0; 1)$ и $(3; 2)$.
- График функции $y = x^2 - 1$ — это парабола, полученная сдвигом графика $y = x^2$ на 1 единицу вниз. Ее вершина находится в точке $(0; -1)$, а ветви направлены вверх. Она пересекает ось OX в точках $(-1; 0)$ и $(1; 0)$.
Решениями уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков. Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках.
Одна точка пересечения очевидна: $(-1; 0)$, что дает корень $x_1 = -1$.
Вторая точка пересечения находится в I четверти. Ее абсциссу из графика можно определить лишь приблизительно (она чуть больше 1.5). Точное значение, найденное алгебраически, равно $x_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Следовательно, решения уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Ответ: $x_1 = -1, x_2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.