Номер 168, страница 56 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

168. Построить график функции:

1) $y = \begin{cases} x, \text{ если } x < 0, \\ x^3, \text{ если } x \geq 0; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} -x, \text{ если } x < 0, \\ \sqrt{x}, \text{ если } x \geq 0. \end{cases}$

1)

Данная функция является кусочно-заданной. Ее вид зависит от знака аргумента $x$. $y = \begin{cases} x, & \text{если } x < 0 \\ x^3, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

1. Построим первую часть графика для $x < 0$. Функция на этом промежутке задается формулой $y=x$. Это прямая линия, являющаяся биссектрисой I и III координатных четвертей. Поскольку нас интересует только промежуток $x < 0$, мы строим ту часть прямой, которая находится в III координатной четверти. Это луч, выходящий из начала координат. Возьмем несколько контрольных точек:

• Если $x = -1$, то $y = -1$. Точка $(-1, -1)$.
• Если $x = -2$, то $y = -2$. Точка $(-2, -2)$.

Так как неравенство $x < 0$ строгое, точка $(0, 0)$ не принадлежит этой части графика. На графике ее отмечают выколотой (пустым кружком).

2. Построим вторую часть графика для $x \ge 0$. Функция на этом промежутке задается формулой $y=x^3$. Это кубическая парабола. Мы строим ее правую ветвь, расположенную в I координатной четверти. Возьмем несколько контрольных точек:

• Если $x = 0$, то $y = 0^3 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1^3 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $x = 2$, то $y = 2^3 = 8$. Точка $(2, 8)$.

Так как неравенство $x \ge 0$ нестрогое, точка $(0, 0)$ принадлежит этой части графика. Она "закрашивает" выколотую точку от первой части.

3. Объединим обе части на одной координатной плоскости. График проходит через начало координат, так как $\lim_{x \to 0-} x = 0$ и значение функции в точке $x=0$ равно $0^3 = 0$. Функция непрерывна.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Для $x < 0$ это луч прямой $y=x$, расположенный в III координатной четверти. Для $x \ge 0$ это правая ветвь кубической параболы $y=x^3$, расположенная в I координатной четверти. Обе части соединяются в точке $(0, 0)$.

2)

Данная функция также является кусочно-заданной. $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

1. Построим первую часть графика для $x < 0$. Функция на этом промежутке задается формулой $y=-x$. Это прямая линия, являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей. Поскольку нас интересует только промежуток $x < 0$, мы строим ту часть прямой, которая находится во II координатной четверти. Это луч, выходящий из начала координат. Возьмем несколько контрольных точек:

• Если $x = -1$, то $y = -(-1) = 1$. Точка $(-1, 1)$.
• Если $x = -2$, то $y = -(-2) = 2$. Точка $(-2, 2)$.

Так как неравенство $x < 0$ строгое, точка $(0, 0)$ не принадлежит этой части графика (выколотая точка).

2. Построим вторую часть графика для $x \ge 0$. Функция на этом промежутке задается формулой $y=\sqrt{x}$. Это график функции квадратного корня — ветвь параболы $x=y^2$, расположенная в I координатной четверти. Возьмем несколько контрольных точек:

• Если $x = 0$, то $y = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0, 0)$.
• Если $x = 1$, то $y = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1, 1)$.
• Если $x = 4$, то $y = \sqrt{4} = 2$. Точка $(4, 2)$.

Так как неравенство $x \ge 0$ нестрогое, точка $(0, 0)$ принадлежит этой части графика и "закрашивает" выколотую точку от первой части.

3. Объединим обе части на одной координатной плоскости. Функция непрерывна в точке $x=0$, так как обе части графика соединяются в начале координат.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Для $x < 0$ это луч прямой $y=-x$, расположенный во II координатной четверти. Для $x \ge 0$ это график функции $y=\sqrt{x}$, расположенный в I координатной четверти. Обе части соединяются в точке $(0, 0)$.