Номер 166, страница 55 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

166. Построить график функции:

1) $y = -(x + 3)^2 + 2$;

2) $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$;

3) $y = 2\sqrt{x + 4} - 3$;

4) $y = -\sqrt{x - 3} + 4$;

5) $y = -(x - 1)^3 + 2$;

6) $y = 2(x + 3)^3 - 2$;

7) $y = \frac{2}{x - 1} + 3$;

8) $y = \frac{3}{(x + 1)^2} - 1$.

1) Для построения графика функции $y = -(x + 3)^2 + 2$ используются преобразования графика базовой функции $y = x^2$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = x^2$ (стандартная парабола с вершиной в начале координат) сдвигается на 3 единицы влево по оси Ox. Получаем $y = (x+3)^2$.
2. Полученный график отражается симметрично относительно оси Ox. Получаем $y = -(x+3)^2$. Ветви параболы теперь направлены вниз.
3. Затем график сдвигается на 2 единицы вверх по оси Oy. Получаем итоговый график $y = -(x+3)^2 + 2$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(-3, 2)$, ветви которой направлены вниз.

2) Для построения графика функции $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$ используются преобразования графика базовой функции $y = x^2$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = x^2$ сдвигается на 3 единицы вправо по оси Ox. Получаем $y = (x-3)^2$.
2. Происходит сжатие графика к оси Ox в 2 раза (или растяжение от оси Oy в $\sqrt{2}$ раз). Получаем $y = \frac{1}{2}(x-3)^2$.
3. Затем график сдвигается на 2 единицы вниз по оси Oy. Получаем итоговый график $y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2$.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в точке $(3, -2)$, ветви которой направлены вверх и она "шире" стандартной параболы $y=x^2$.

3) Для построения графика функции $y = 2\sqrt{x + 4} - 3$ используются преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы, выходящая из начала координат в первой четверти) сдвигается на 4 единицы влево по оси Ox. Получаем $y = \sqrt{x+4}$. Начальная точка смещается в $(-4, 0)$. Область определения: $x \ge -4$.
2. График растягивается от оси Ox в 2 раза. Получаем $y = 2\sqrt{x+4}$.
3. Затем график сдвигается на 3 единицы вниз по оси Oy. Получаем итоговый график $y = 2\sqrt{x+4} - 3$.

Ответ: Графиком является ветвь параболы, выходящая из точки $(-4, -3)$ и идущая вправо и вверх.

4) Для построения графика функции $y = -\sqrt{x - 3} + 4$ используются преобразования графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = \sqrt{x}$ сдвигается на 3 единицы вправо по оси Ox. Получаем $y = \sqrt{x-3}$. Начальная точка смещается в $(3, 0)$. Область определения: $x \ge 3$.
2. Полученный график отражается симметрично относительно оси Ox. Получаем $y = -\sqrt{x-3}$. Ветвь параболы теперь направлена вниз.
3. Затем график сдвигается на 4 единицы вверх по оси Oy. Получаем итоговый график $y = -\sqrt{x-3} + 4$.

Ответ: Графиком является ветвь параболы, выходящая из точки $(3, 4)$ и идущая вправо и вниз.

5) Для построения графика функции $y = -(x - 1)^3 + 2$ используются преобразования графика базовой функции $y = x^3$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = x^3$ (кубическая парабола с центром симметрии в начале координат) сдвигается на 1 единицу вправо по оси Ox. Получаем $y = (x-1)^3$.
2. Полученный график отражается симметрично относительно оси Ox. Получаем $y = -(x-1)^3$.
3. Затем график сдвигается на 2 единицы вверх по оси Oy. Получаем итоговый график $y = -(x-1)^3 + 2$.

Ответ: Графиком является кубическая парабола с центром симметрии в точке $(1, 2)$, убывающая на всей области определения.

6) Для построения графика функции $y = 2(x + 3)^3 - 2$ используются преобразования графика базовой функции $y = x^3$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = x^3$ сдвигается на 3 единицы влево по оси Ox. Получаем $y = (x+3)^3$.
2. График растягивается от оси Ox в 2 раза. Получаем $y = 2(x+3)^3$.
3. Затем график сдвигается на 2 единицы вниз по оси Oy. Получаем итоговый график $y = 2(x+3)^3 - 2$.

Ответ: Графиком является кубическая парабола с центром симметрии в точке $(-3, -2)$, которая "круче" стандартной $y=x^3$.

7) Для построения графика функции $y = \frac{2}{x - 1} + 3$ используются преобразования графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = \frac{1}{x}$ (гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=0$) сдвигается на 1 единицу вправо по оси Ox. Получаем $y = \frac{1}{x-1}$. Вертикальная асимптота смещается на $x=1$.
2. График растягивается от оси Ox в 2 раза. Получаем $y = \frac{2}{x-1}$.
3. Затем график сдвигается на 3 единицы вверх по оси Oy. Получаем итоговый график $y = \frac{2}{x-1} + 3$. Горизонтальная асимптота смещается на $y=3$.

Ответ: Графиком является гипербола с вертикальной асимптотой $x = 1$ и горизонтальной асимптотой $y = 3$. Ветви гиперболы расположены в I и III четвертях относительно новых асимптот.

8) Для построения графика функции $y = \frac{3}{(x + 1)^2} - 1$ используются преобразования графика базовой функции $y = \frac{1}{x^2}$.
Порядок преобразований:
1. График функции $y = \frac{1}{x^2}$ (с асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви в I и II четвертях) сдвигается на 1 единицу влево по оси Ox. Получаем $y = \frac{1}{(x+1)^2}$. Вертикальная асимптота смещается на $x=-1$.
2. График растягивается от оси Ox в 3 раза. Получаем $y = \frac{3}{(x+1)^2}$.
3. Затем график сдвигается на 1 единицу вниз по оси Oy. Получаем итоговый график $y = \frac{3}{(x+1)^2} - 1$. Горизонтальная асимптота смещается на $y=-1$.

Ответ: Графиком функции является кривая с вертикальной асимптотой $x = -1$ и горизонтальной асимптотой $y = -1$. Обе ветви графика расположены выше горизонтальной асимптоты $y=-1$.