Номер 157, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

157. Методом интервалов решить неравенство:

1) $\frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 + 2x - 3} \le 0; $

2) $\frac{x^2 + x - 6}{x^2 + x + 1} \ge 0; $

3) $\frac{(x + 2)^2}{(x - 1)(x + 5)} \ge 0; $

4) $\frac{(x + 3)^2 (x + 1)}{x - 4} \le 0; $

5) $\frac{(x - 4)^2 (x + 2)}{(x - 5)^3} \le 0; $

6) $\frac{(x + 7)^3 (x - 2)}{x + 3} \ge 0. $

1) Решим неравенство $ \frac{x^2-6x+8}{x^2+2x-3} \le 0 $.

Сначала разложим на множители числитель и знаменатель, найдя их корни.

Для числителя $ x^2-6x+8=0 $ корни, по теореме Виета, $ x_1=2 $ и $ x_2=4 $. Таким образом, $ x^2-6x+8 = (x-2)(x-4) $.

Для знаменателя $ x^2+2x-3=0 $ корни $ x_1=1 $ и $ x_2=-3 $. Таким образом, $ x^2+2x-3 = (x-1)(x+3) $.

Исходное неравенство принимает вид: $ \frac{(x-2)(x-4)}{(x-1)(x+3)} \le 0 $.

Найдём точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю. Это $ x=-3, x=1, x=2, x=4 $. Отметим эти точки на числовой прямой. Точки, обнуляющие знаменатель ($ -3 $ и $ 1 $), будут выколотыми. Точки, обнуляющие числитель ($ 2 $ и $ 4 $), будут закрашенными, так как неравенство нестрогое ($ \le $).

Определим знаки выражения на получившихся интервалах. Для $ x>4 $ (например, $ x=5 $) все множители положительны, значит, дробь положительна. Так как все корни имеют кратность 1, знаки на интервалах будут чередоваться.

Двигаясь справа налево, получаем знаки: $ + $ на $ (4, +\infty) $; $ - $ на $ (2, 4) $; $ + $ на $ (1, 2) $; $ - $ на $ (-3, 1) $; $ + $ на $ (-\infty, -3) $.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком "минус", включая закрашенные концы: $ (-3; 1) $ и $ [2; 4] $.

Ответ: $ x \in (-3; 1) \cup [2; 4] $.

2) Решим неравенство $ \frac{x^2+x-6}{x^2+x+1} \ge 0 $.

Рассмотрим знаменатель $ x^2+x+1 $. Вычислим его дискриминант: $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 $. Поскольку $ D<0 $ и старший коэффициент $ a=1>0 $, выражение $ x^2+x+1 $ положительно при любых значениях $ x $.

Так как знаменатель всегда положителен, мы можем умножить на него обе части неравенства, сохранив знак. Неравенство равносильно следующему: $ x^2+x-6 \ge 0 $.

Разложим левую часть на множители. Корни уравнения $ x^2+x-6=0 $ равны $ x_1=2 $ и $ x_2=-3 $.

Получаем неравенство $ (x+3)(x-2) \ge 0 $.

Нули выражения: $ x=-3 $ и $ x=2 $. Это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями.

Решение: $ x \le -3 $ или $ x \ge 2 $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -3] \cup [2; +\infty) $.

3) Решим неравенство $ \frac{(x+2)^2}{(x-1)(x+5)} \ge 0 $.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $ x=-2 $. Этот корень имеет кратность 2 (чётная), поэтому при переходе через эту точку знак выражения на числовой прямой меняться не будет. Точка $ x=-2 $ является решением, так как в ней выражение равно 0.

Нули знаменателя: $ x=1 $ и $ x=-5 $. Эти точки будут выколотыми.

Отметим на числовой прямой точки $ -5, -2, 1 $. Точка $ -2 $ закрашенная, точки $ -5 $ и $ 1 $ — выколотые.

Определим знак на крайнем правом интервале $ (1, +\infty) $. При $ x=2 $, $ \frac{(+)^2}{(+)(+)} > 0 $.

Двигаясь справа налево, расставляем знаки: $ + $ на $ (1, +\infty) $; $ - $ на $ (-2, 1) $; $ - $ на $ (-5, -2) $ (знак не меняется из-за чётной кратности корня $ x=-2 $); $ + $ на $ (-\infty, -5) $.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $ (-\infty; -5) $ и $ (1; +\infty) $, а также изолированная точка $ x=-2 $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -5) \cup \{-2\} \cup (1; +\infty) $.

4) Решим неравенство $ \frac{(x+3)^2(x+1)}{x-4} \le 0 $.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ x=-3 $ (кратность 2, чётная) и $ x=-1 $ (кратность 1). Обе точки включаются в решение ($ -3 $ и $ -1 $ закрашенные).

Нуль знаменателя: $ x=4 $. Точка исключается из решения ($ 4 $ выколотая).

Отметим на числовой прямой точки $ -3, -1, 4 $.

Определим знак на крайнем правом интервале $ (4, +\infty) $. При $ x=5 $, $ \frac{(+)^2(+)}{(+)} > 0 $.

Расставляем знаки справа налево: $ + $ на $ (4, +\infty) $; $ - $ на $ (-1, 4) $; $ + $ на $ (-3, -1) $; $ + $ на $ (-\infty, -3) $ (знак не меняется при переходе через $ x=-3 $).

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал $ [-1; 4) $ и изолированная точка $ x=-3 $.

Ответ: $ x \in \{-3\} \cup [-1; 4) $.

5) Решим неравенство $ \frac{(x-4)^2(x+2)}{(x-5)^3} \le 0 $.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ x=4 $ (кратность 2, чётная) и $ x=-2 $ (кратность 1). Обе точки включаются в решение ($ 4 $ и $ -2 $ закрашенные).

Нуль знаменателя: $ x=5 $ (кратность 3, нечётная). Точка исключается из решения ($ 5 $ выколотая).

Отметим на числовой прямой точки $ -2, 4, 5 $.

Определим знак на крайнем правом интервале $ (5, +\infty) $. При $ x=6 $, $ \frac{(+)^2(+)}{(+)^3} > 0 $.

Расставляем знаки справа налево: $ + $ на $ (5, +\infty) $; $ - $ на $ (4, 5) $; $ - $ на $ (-2, 4) $ (знак не меняется при переходе через $ x=4 $); $ + $ на $ (-\infty, -2) $.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это объединение интервалов $ [-2; 4] $ и $ [4; 5) $, что дает $ [-2; 5) $.

Ответ: $ x \in [-2; 5) $.

6) Решим неравенство $ \frac{(x+7)^3(x-2)}{x+3} \ge 0 $.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ x=-7 $ (кратность 3, нечётная) и $ x=2 $ (кратность 1, нечётная). Обе точки включаются в решение ($ -7 $ и $ 2 $ закрашенные).

Нуль знаменателя: $ x=-3 $ (кратность 1, нечётная). Точка исключается ($ -3 $ выколотая).

Отметим на числовой прямой точки $ -7, -3, 2 $. Все корни имеют нечётную кратность, поэтому знак будет меняться при переходе через каждую точку.

Определим знак на крайнем правом интервале $ (2, +\infty) $. При $ x=3 $, $ \frac{(+)^3(+)}{(+)} > 0 $.

Расставляем знаки справа налево: $ + $ на $ (2, +\infty) $; $ - $ на $ (-3, 2) $; $ + $ на $ (-7, -3) $; $ - $ на $ (-\infty, -7) $.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это $ [-7; -3) $ и $ [2; +\infty) $.

Ответ: $ x \in [-7; -3) \cup [2; +\infty) $.