Номер 150, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

150. С помощью графиков найти значения $x$, при которых значения функции $y = 2x^2 - 1$ меньше значений функции $y = 5 - x$.

Для того чтобы с помощью графиков найти значения $x$, при которых значения функции $y = 2x^2 - 1$ меньше значений функции $y = 5 - x$, необходимо решить неравенство $2x^2 - 1 < 5 - x$ графическим методом. Для этого построим графики обеих функций в одной системе координат и определим, на каком интервале оси $x$ график функции $y = 2x^2 - 1$ лежит ниже графика функции $y = 5 - x$.

Построение графиков
1. График функции $y = 2x^2 - 1$ — это парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$), ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -\frac{b}{2a} = 0$, ордината вершины $y_0 = 2(0)^2 - 1 = -1$. Таким образом, вершина параболы — точка $(0, -1)$.
2. График функции $y = 5 - x$ — это прямая. Для ее построения найдем две точки:
- при $x=0$, $y=5$ (точка $(0,5)$)
- при $x=5$, $y=0$ (точка $(5,0)$).

Нахождение точек пересечения
Чтобы найти точки пересечения графиков, необходимо приравнять их правые части и решить полученное уравнение:
$2x^2 - 1 = 5 - x$
Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 + x - 6 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$
Найдем корни уравнения, которые являются абсциссами точек пересечения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 7}{4} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Анализ расположения графиков
Графики пересекаются в точках с абсциссами $x=-2$ и $x=1.5$. Поскольку парабола $y = 2x^2 - 1$ имеет ветви, направленные вверх, ее значения будут меньше значений линейной функции $y=5-x$ на интервале между точками пересечения. Так как неравенство строгое ($<$), сами точки пересечения не включаются в решение.
Следовательно, искомые значения $x$ принадлежат интервалу от $-2$ до $1.5$.

Ответ: $x \in (-2; 1.5)$