Номер 154, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

154. 1) $x^2 \ge 25$;

2) $x^2 < 9$;

3) $2x^2 \le x$;

4) $\frac{2}{3}x^2 \ge 2x$;

5) $x^2 + \frac{1}{4} > x$;

6) $-3x^2 > 2x + 1$.

1) Исходное неравенство: $x^2 \ge 25$.

Перенесем 25 в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$x^2 - 25 \ge 0$
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 5)(x + 5) \ge 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 5)(x + 5) = 0$. Корнями являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$.
Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала. Рассмотрим параболу $y = x^2 - 25$. Коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), значит, ветви параболы направлены вверх.
Следовательно, выражение $x^2 - 25$ будет неотрицательным (больше или равно нулю) на промежутках, которые находятся вне корней, включая сами корни.
Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $x^2 < 9$.

Перенесем 9 в левую часть:
$x^2 - 9 < 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 3)(x + 3) < 0$
Найдем корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх. Нас интересует, где парабола находится ниже оси $x$, то есть где $y < 0$. Это происходит на интервале между корнями.
Поскольку неравенство строгое, сами корни в решение не входят.
Ответ: $x \in (-3, 3)$.

3) Исходное неравенство: $2x^2 \le x$.

Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 - x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2x - 1) \le 0$
Найдем корни уравнения $x(2x - 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/2$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - x$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля).
Мы ищем значения $x$, при которых парабола находится ниже или на оси $x$ ($y \le 0$). Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in [0, 1/2]$.

4) Исходное неравенство: $\frac{2}{3}x^2 \ge 2x$.

Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{2}{3}x^2 - 2x \ge 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(\frac{2}{3}x - 2) \ge 0$
Найдем корни уравнения $x(\frac{2}{3}x - 2) = 0$.
Первый корень $x_1 = 0$.
Второй корень найдем из уравнения $\frac{2}{3}x - 2 = 0 \implies \frac{2}{3}x = 2 \implies x = 2 \cdot \frac{3}{2} \implies x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = \frac{2}{3}x^2 - 2x$ направлены вверх (коэффициент $\frac{2}{3} > 0$).
Мы ищем значения $x$, при которых $y \ge 0$. Это происходит на промежутках вне корней, включая сами корни.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty)$.

5) Исходное неравенство: $x^2 + \frac{1}{4} > x$.

Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - x + \frac{1}{4} > 0$
Левая часть является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - \frac{1}{2})^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа, кроме нуля, всегда положителен. Выражение $(x - \frac{1}{2})^2$ равно нулю при $x = \frac{1}{2}$ и строго больше нуля при всех остальных значениях $x$.
Поскольку неравенство строгое, точка $x = \frac{1}{2}$ не является решением.
Следовательно, решением являются все действительные числа, кроме $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1/2) \cup (1/2, +\infty)$.

6) Исходное неравенство: $-3x^2 > 2x + 1$.

Перенесем все члены в левую часть:
$-3x^2 - 2x - 1 > 0$
Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$3x^2 + 2x + 1 < 0$
Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 3x^2 + 2x + 1$. Найдем ее корни, решив уравнение $3x^2 + 2x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$
Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Коэффициент при $x^2$ (равен 3) положителен, значит, ветви параболы $y = 3x^2 + 2x + 1$ направлены вверх. Так как у параболы нет точек пересечения с осью $x$, она целиком расположена выше оси $x$.
Это означает, что выражение $3x^2 + 2x + 1$ всегда положительно для любого действительного значения $x$.
Неравенство $3x^2 + 2x + 1 < 0$ не имеет решений.
Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).