Страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

154. 1) $x^2 \ge 25$;

2) $x^2 < 9$;

3) $2x^2 \le x$;

4) $\frac{2}{3}x^2 \ge 2x$;

5) $x^2 + \frac{1}{4} > x$;

6) $-3x^2 > 2x + 1$.

1) Исходное неравенство: $x^2 \ge 25$.

Перенесем 25 в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного неравенства:
$x^2 - 25 \ge 0$
Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x - 5)(x + 5) \ge 0$
Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 5)(x + 5) = 0$. Корнями являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$.
Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала. Рассмотрим параболу $y = x^2 - 25$. Коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), значит, ветви параболы направлены вверх.
Следовательно, выражение $x^2 - 25$ будет неотрицательным (больше или равно нулю) на промежутках, которые находятся вне корней, включая сами корни.
Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [5, +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $x^2 < 9$.

Перенесем 9 в левую часть:
$x^2 - 9 < 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(x - 3)(x + 3) < 0$
Найдем корни уравнения $(x - 3)(x + 3) = 0$. Корнями являются $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 9$ направлены вверх. Нас интересует, где парабола находится ниже оси $x$, то есть где $y < 0$. Это происходит на интервале между корнями.
Поскольку неравенство строгое, сами корни в решение не входят.
Ответ: $x \in (-3, 3)$.

3) Исходное неравенство: $2x^2 \le x$.

Перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 - x \le 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(2x - 1) \le 0$
Найдем корни уравнения $x(2x - 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1/2$.
Ветви параболы $y = 2x^2 - x$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля).
Мы ищем значения $x$, при которых парабола находится ниже или на оси $x$ ($y \le 0$). Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.
Ответ: $x \in [0, 1/2]$.

4) Исходное неравенство: $\frac{2}{3}x^2 \ge 2x$.

Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{2}{3}x^2 - 2x \ge 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(\frac{2}{3}x - 2) \ge 0$
Найдем корни уравнения $x(\frac{2}{3}x - 2) = 0$.
Первый корень $x_1 = 0$.
Второй корень найдем из уравнения $\frac{2}{3}x - 2 = 0 \implies \frac{2}{3}x = 2 \implies x = 2 \cdot \frac{3}{2} \implies x_2 = 3$.
Ветви параболы $y = \frac{2}{3}x^2 - 2x$ направлены вверх (коэффициент $\frac{2}{3} > 0$).
Мы ищем значения $x$, при которых $y \ge 0$. Это происходит на промежутках вне корней, включая сами корни.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [3, +\infty)$.

5) Исходное неравенство: $x^2 + \frac{1}{4} > x$.

Перенесем все члены в левую часть:
$x^2 - x + \frac{1}{4} > 0$
Левая часть является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x - \frac{1}{2})^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа, кроме нуля, всегда положителен. Выражение $(x - \frac{1}{2})^2$ равно нулю при $x = \frac{1}{2}$ и строго больше нуля при всех остальных значениях $x$.
Поскольку неравенство строгое, точка $x = \frac{1}{2}$ не является решением.
Следовательно, решением являются все действительные числа, кроме $x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1/2) \cup (1/2, +\infty)$.

6) Исходное неравенство: $-3x^2 > 2x + 1$.

Перенесем все члены в левую часть:
$-3x^2 - 2x - 1 > 0$
Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$3x^2 + 2x + 1 < 0$
Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = 3x^2 + 2x + 1$. Найдем ее корни, решив уравнение $3x^2 + 2x + 1 = 0$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = -8$
Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Коэффициент при $x^2$ (равен 3) положителен, значит, ветви параболы $y = 3x^2 + 2x + 1$ направлены вверх. Так как у параболы нет точек пересечения с осью $x$, она целиком расположена выше оси $x$.
Это означает, что выражение $3x^2 + 2x + 1$ всегда положительно для любого действительного значения $x$.
Неравенство $3x^2 + 2x + 1 < 0$ не имеет решений.
Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

155. Методом интервалов решить неравенство:

1) $(x+5)(x+2) > 0$;

2) $(x+1)(x-4) \le 0$;

3) $\frac{x-7}{x+8} \le 0$;

4) $\frac{x+6}{x-10} \ge 0$;

5) $(x-1)x(x+3) \le 0$;

6) $x(x+2)(x-3) > 0$;

7) $\frac{2x^2-x}{x+1} > 0$;

8) $\frac{3x^2+x}{x-2} \le 0$.

1) $(x+5)(x+2) > 0$

Сначала найдем нули левой части неравенства. Для этого решим уравнение $(x+5)(x+2) = 0$. Корнями являются $x_1 = -5$ и $x_2 = -2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Поскольку неравенство строгое ($>$), точки $-5$ и $-2$ будут выколотыми (не входят в решение). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; -2)$ и $(-2; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x+5)(x+2)$ на каждом интервале. В крайнем правом интервале (при $x > -2$) все множители положительны, значит, и всё произведение положительно. При переходе через каждый корень нечетной кратности (в данном случае оба корня имеют кратность 1), знак выражения меняется. Таким образом, знаки на интервалах будут чередоваться: $+, -, +$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля, то есть те, где стоит знак "+". Это интервалы $(-\infty; -5)$ и $(-2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-2; +\infty)$

2) $(x+1)(x-4) \le 0$

Найдем нули выражения, решив уравнение $(x+1)(x-4) = 0$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 4$.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки $-1$ и $4$ будут закрашенными (входят в решение). Они разбивают ось на три интервала.

Определим знаки на интервалах. При $x > 4$ (например, $x=5$) выражение $(5+1)(5-4) = 6 > 0$, знак "+". Так как кратность корней равна 1, знаки чередуются: $+, -, +$.

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю ($\le 0$). Выбираем интервал со знаком "-" и включаем его концы. Это интервал $[-1; 4]$.

Ответ: $x \in [-1; 4]$

3) $\frac{x-7}{x+8} \le 0$

Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x-7=0 \Rightarrow x=7$. Нуль знаменателя: $x+8=0 \Rightarrow x=-8$.

Отметим точки на числовой оси. Точка $x=7$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x=-8$ всегда будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю. Точки разбивают ось на три интервала.

Определим знаки дроби на интервалах. При $x>8$ (например, $x=10$) дробь $\frac{10-7}{10+8} = \frac{3}{18} > 0$, знак "+". Знаки чередуются: $+, -, +$.

Нас интересует, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это интервал со знаком "-", включая нуль числителя. Это $(-8; 7]$.

Ответ: $x \in (-8; 7]$

4) $\frac{x+6}{x-10} \ge 0$

Найдем нули числителя и знаменателя. Нуль числителя: $x+6=0 \Rightarrow x=-6$. Нуль знаменателя: $x-10=0 \Rightarrow x=10$.

Отметим точки на числовой оси. Точка $x=-6$ будет закрашенной ($\ge$). Точка $x=10$ (нуль знаменателя) будет выколотой.

Определим знаки на интервалах. При $x > 10$ (например, $x=11$) дробь $\frac{11+6}{11-10} = 17 > 0$, знак "+". Знаки чередуются: $+, -, +$.

Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю ($\ge 0$). Выбираем интервалы со знаком "+", включая нуль числителя. Это $(-\infty; -6]$ и $(10; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup (10; +\infty)$

5) $(x-1)x(x+3) \le 0$

Найдем нули выражения, решив уравнение $(x-1)x(x+3) = 0$. Корнями являются $x_1 = 1$, $x_2 = 0$, $x_3 = -3$.

Отметим точки $-3, 0, 1$ на числовой оси. Все точки закрашенные, так как неравенство нестрогое ($\le$). Они разбивают ось на четыре интервала.

Определим знаки на интервалах. При $x > 1$ (например, $x=2$) выражение $(2-1)(2)(2+3) = 1 \cdot 2 \cdot 5 = 10 > 0$, знак "+". Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются: $-, +, -, +$.

Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю ($\le 0$). Выбираем интервалы со знаком "-" и включаем концы. Это $(-\infty; -3]$ и $[0; 1]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [0; 1]$

6) $x(x+2)(x-3) > 0$

Найдем нули выражения, решив уравнение $x(x+2)(x-3) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$, $x_2 = -2$, $x_3 = 3$.

Отметим точки $-2, 0, 3$ на числовой оси. Все точки выколотые, так как неравенство строгое ($>$). Они разбивают ось на четыре интервала.

Определим знаки на интервалах. При $x > 3$ (например, $x=4$) выражение $4(4+2)(4-3) = 4 \cdot 6 \cdot 1 = 24 > 0$, знак "+". Знаки чередуются: $-, +, -, +$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля ($>0$). Выбираем интервалы со знаком "+". Это $(-2; 0)$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2; 0) \cup (3; +\infty)$

7) $\frac{2x^2-x}{x+1} > 0$

Сначала преобразуем числитель, вынеся общий множитель: $2x^2-x = x(2x-1)$. Неравенство принимает вид $\frac{x(2x-1)}{x+1} > 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $x=0$ и $2x-1=0 \Rightarrow x=0.5$. Нуль знаменателя: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

Отметим точки $-1, 0, 0.5$ на числовой оси. Все точки выколотые, так как неравенство строгое ($>$).

Определим знаки на интервалах. При $x > 0.5$ (например, $x=1$) выражение $\frac{1(2 \cdot 1-1)}{1+1} = \frac{1}{2} > 0$, знак "+". Знаки чередуются: $-, +, -, +$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля ($>0$). Это $(-1; 0)$ и $(0.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (0.5; +\infty)$

8) $\frac{3x^2+x}{x-2} \le 0$

Преобразуем числитель: $3x^2+x = x(3x+1)$. Неравенство примет вид $\frac{x(3x+1)}{x-2} \le 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $x=0$ и $3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{3}$. Нуль знаменателя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$.

Отметим точки на числовой оси. Точки $x=0$ и $x=-\frac{1}{3}$ закрашенные ($\le$). Точка $x=2$ выколотая.

Определим знаки на интервалах. При $x > 2$ (например, $x=3$) выражение $\frac{3(3 \cdot 3+1)}{3-2} = \frac{3 \cdot 10}{1} > 0$, знак "+". Знаки чередуются: $-, +, -, +$.

Нас интересует, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Выбираем интервалы со знаком "-" и включаем закрашенные точки. Это $(-\infty; -\frac{1}{3}]$ и $[0; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{3}] \cup [0; 2)$

156. Выяснить, при каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{5x^2 + 9x - 2}$;

2) $\sqrt{-3x^2 + x + 4}$;

3) $\frac{1}{\sqrt{-x^2 + 2x - 1}}$;

4) $\frac{5}{\sqrt{x^2 + 6x + 9}}$.

1) Выражение $\sqrt{5x^2 + 9x - 2}$ имеет смысл (определено), когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
$5x^2 + 9x - 2 \ge 0$
Это квадратичное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 + 9x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Графиком функции $y = 5x^2 + 9x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент $a=5 > 0$). Следовательно, значения функции неотрицательны на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{1}{5}, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{1}{5}, +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt{-3x^2 + x + 4}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
$-3x^2 + x + 4 \ge 0$
Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$3x^2 - x - 4 \le 0$
Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 4 = 0$.
Дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 7}{6} = \frac{-6}{6} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
Графиком функции $y = 3x^2 - x - 4$ является парабола с ветвями вверх ($a=3 > 0$). Следовательно, значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \in [-1, \frac{4}{3}]$.
Ответ: $x \in [-1, \frac{4}{3}]$.

3) Выражение $\frac{1}{\sqrt{-x^2 + 2x - 1}}$ имеет смысл, когда выражение под корнем в знаменателе строго больше нуля (подкоренное выражение не может быть отрицательным, а знаменатель не может быть равен нулю).
$-x^2 + 2x - 1 > 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$x^2 - 2x + 1 < 0$
Левая часть неравенства является полным квадратом разности:
$(x - 1)^2 < 0$
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - 1)^2 \ge 0$. Таким образом, неравенство $(x - 1)^2 < 0$ не выполняется ни при каких значениях $x$.
Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

4) Выражение $\frac{5}{\sqrt{x^2 + 6x + 9}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля.
$x^2 + 6x + 9 > 0$
Левая часть неравенства является полным квадратом суммы:
$(x + 3)^2 > 0$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Выражение $(x + 3)^2$ равно нулю только в одном случае: при $x + 3 = 0$, то есть при $x = -3$. Во всех остальных случаях $(x + 3)^2$ строго больше нуля.
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = -3$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$.

157. Методом интервалов решить неравенство:

1) $\frac{x^2 - 6x + 8}{x^2 + 2x - 3} \le 0; $

2) $\frac{x^2 + x - 6}{x^2 + x + 1} \ge 0; $

3) $\frac{(x + 2)^2}{(x - 1)(x + 5)} \ge 0; $

4) $\frac{(x + 3)^2 (x + 1)}{x - 4} \le 0; $

5) $\frac{(x - 4)^2 (x + 2)}{(x - 5)^3} \le 0; $

6) $\frac{(x + 7)^3 (x - 2)}{x + 3} \ge 0. $

1) Решим неравенство $ \frac{x^2-6x+8}{x^2+2x-3} \le 0 $.

Сначала разложим на множители числитель и знаменатель, найдя их корни.

Для числителя $ x^2-6x+8=0 $ корни, по теореме Виета, $ x_1=2 $ и $ x_2=4 $. Таким образом, $ x^2-6x+8 = (x-2)(x-4) $.

Для знаменателя $ x^2+2x-3=0 $ корни $ x_1=1 $ и $ x_2=-3 $. Таким образом, $ x^2+2x-3 = (x-1)(x+3) $.

Исходное неравенство принимает вид: $ \frac{(x-2)(x-4)}{(x-1)(x+3)} \le 0 $.

Найдём точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю. Это $ x=-3, x=1, x=2, x=4 $. Отметим эти точки на числовой прямой. Точки, обнуляющие знаменатель ($ -3 $ и $ 1 $), будут выколотыми. Точки, обнуляющие числитель ($ 2 $ и $ 4 $), будут закрашенными, так как неравенство нестрогое ($ \le $).

Определим знаки выражения на получившихся интервалах. Для $ x>4 $ (например, $ x=5 $) все множители положительны, значит, дробь положительна. Так как все корни имеют кратность 1, знаки на интервалах будут чередоваться.

Двигаясь справа налево, получаем знаки: $ + $ на $ (4, +\infty) $; $ - $ на $ (2, 4) $; $ + $ на $ (1, 2) $; $ - $ на $ (-3, 1) $; $ + $ на $ (-\infty, -3) $.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это интервалы со знаком "минус", включая закрашенные концы: $ (-3; 1) $ и $ [2; 4] $.

Ответ: $ x \in (-3; 1) \cup [2; 4] $.

2) Решим неравенство $ \frac{x^2+x-6}{x^2+x+1} \ge 0 $.

Рассмотрим знаменатель $ x^2+x+1 $. Вычислим его дискриминант: $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 $. Поскольку $ D<0 $ и старший коэффициент $ a=1>0 $, выражение $ x^2+x+1 $ положительно при любых значениях $ x $.

Так как знаменатель всегда положителен, мы можем умножить на него обе части неравенства, сохранив знак. Неравенство равносильно следующему: $ x^2+x-6 \ge 0 $.

Разложим левую часть на множители. Корни уравнения $ x^2+x-6=0 $ равны $ x_1=2 $ и $ x_2=-3 $.

Получаем неравенство $ (x+3)(x-2) \ge 0 $.

Нули выражения: $ x=-3 $ и $ x=2 $. Это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями.

Решение: $ x \le -3 $ или $ x \ge 2 $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -3] \cup [2; +\infty) $.

3) Решим неравенство $ \frac{(x+2)^2}{(x-1)(x+5)} \ge 0 $.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $ x=-2 $. Этот корень имеет кратность 2 (чётная), поэтому при переходе через эту точку знак выражения на числовой прямой меняться не будет. Точка $ x=-2 $ является решением, так как в ней выражение равно 0.

Нули знаменателя: $ x=1 $ и $ x=-5 $. Эти точки будут выколотыми.

Отметим на числовой прямой точки $ -5, -2, 1 $. Точка $ -2 $ закрашенная, точки $ -5 $ и $ 1 $ — выколотые.

Определим знак на крайнем правом интервале $ (1, +\infty) $. При $ x=2 $, $ \frac{(+)^2}{(+)(+)} > 0 $.

Двигаясь справа налево, расставляем знаки: $ + $ на $ (1, +\infty) $; $ - $ на $ (-2, 1) $; $ - $ на $ (-5, -2) $ (знак не меняется из-за чётной кратности корня $ x=-2 $); $ + $ на $ (-\infty, -5) $.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $ (-\infty; -5) $ и $ (1; +\infty) $, а также изолированная точка $ x=-2 $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -5) \cup \{-2\} \cup (1; +\infty) $.

4) Решим неравенство $ \frac{(x+3)^2(x+1)}{x-4} \le 0 $.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ x=-3 $ (кратность 2, чётная) и $ x=-1 $ (кратность 1). Обе точки включаются в решение ($ -3 $ и $ -1 $ закрашенные).

Нуль знаменателя: $ x=4 $. Точка исключается из решения ($ 4 $ выколотая).

Отметим на числовой прямой точки $ -3, -1, 4 $.

Определим знак на крайнем правом интервале $ (4, +\infty) $. При $ x=5 $, $ \frac{(+)^2(+)}{(+)} > 0 $.

Расставляем знаки справа налево: $ + $ на $ (4, +\infty) $; $ - $ на $ (-1, 4) $; $ + $ на $ (-3, -1) $; $ + $ на $ (-\infty, -3) $ (знак не меняется при переходе через $ x=-3 $).

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал $ [-1; 4) $ и изолированная точка $ x=-3 $.

Ответ: $ x \in \{-3\} \cup [-1; 4) $.

5) Решим неравенство $ \frac{(x-4)^2(x+2)}{(x-5)^3} \le 0 $.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ x=4 $ (кратность 2, чётная) и $ x=-2 $ (кратность 1). Обе точки включаются в решение ($ 4 $ и $ -2 $ закрашенные).

Нуль знаменателя: $ x=5 $ (кратность 3, нечётная). Точка исключается из решения ($ 5 $ выколотая).

Отметим на числовой прямой точки $ -2, 4, 5 $.

Определим знак на крайнем правом интервале $ (5, +\infty) $. При $ x=6 $, $ \frac{(+)^2(+)}{(+)^3} > 0 $.

Расставляем знаки справа налево: $ + $ на $ (5, +\infty) $; $ - $ на $ (4, 5) $; $ - $ на $ (-2, 4) $ (знак не меняется при переходе через $ x=4 $); $ + $ на $ (-\infty, -2) $.

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это объединение интервалов $ [-2; 4] $ и $ [4; 5) $, что дает $ [-2; 5) $.

Ответ: $ x \in [-2; 5) $.

6) Решим неравенство $ \frac{(x+7)^3(x-2)}{x+3} \ge 0 $.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $ x=-7 $ (кратность 3, нечётная) и $ x=2 $ (кратность 1, нечётная). Обе точки включаются в решение ($ -7 $ и $ 2 $ закрашенные).

Нуль знаменателя: $ x=-3 $ (кратность 1, нечётная). Точка исключается ($ -3 $ выколотая).

Отметим на числовой прямой точки $ -7, -3, 2 $. Все корни имеют нечётную кратность, поэтому знак будет меняться при переходе через каждую точку.

Определим знак на крайнем правом интервале $ (2, +\infty) $. При $ x=3 $, $ \frac{(+)^3(+)}{(+)} > 0 $.

Расставляем знаки справа налево: $ + $ на $ (2, +\infty) $; $ - $ на $ (-3, 2) $; $ + $ на $ (-7, -3) $; $ - $ на $ (-\infty, -7) $.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это $ [-7; -3) $ и $ [2; +\infty) $.

Ответ: $ x \in [-7; -3) \cup [2; +\infty) $.

158. Решить неравенство:

1) $\frac{(x - 4)\sqrt{x + 5}}{x + 2} > 0;$

2) $\frac{(x - 2)\sqrt{x + 5}}{(x - 3)\sqrt{x + 3}} \ge 0;$

3) $(x + 1)(x - 2)\sqrt{(3 - x)(x + 2)} > 0.$

1) $\frac{(x-4)\sqrt{x+5}}{x+2} > 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен равняться нулю:
$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ x+2 \ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ne -2 \end{cases}$.
ОДЗ: $x \in [-5, -2) \cup (-2, +\infty)$.

Поскольку неравенство строгое, множитель $\sqrt{x+5}$ должен быть строго больше нуля. Это означает, что $x+5 > 0$, то есть $x > -5$. При этом условии множитель $\sqrt{x+5}$ всегда положителен и не влияет на знак дроби. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} \frac{x-4}{x+2} > 0 \\ x > -5 \end{cases}$

Решим первое неравенство $\frac{x-4}{x+2} > 0$ методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x=4$ и $x=-2$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Определим знак дроби на каждом интервале:
- при $x \in (4, +\infty)$ выражение положительно (+)
- при $x \in (-2, 4)$ выражение отрицательно (-)
- при $x \in (-\infty, -2)$ выражение положительно (+)

Решением неравенства $\frac{x-4}{x+2} > 0$ является $x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty)$.

Учитывая второе условие системы $x > -5$, находим пересечение множеств: $x \in ((-\infty, -2) \cup (4, +\infty)) \cap (-5, +\infty)$.

В результате получаем $x \in (-5, -2) \cup (4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-5, -2) \cup (4, +\infty)$.

2) $\frac{(x-2)\sqrt{x+5}}{(x-3)\sqrt{x+3}} \ge 0$

Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными, а знаменатель — не равен нулю.
$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ x+3 > 0 \\ x-3 \ne 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -5 \\ x > -3 \\ x \ne 3 \end{cases}$.
Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \in (-3, 3) \cup (3, +\infty)$.

На ОДЗ оба корня, $\sqrt{x+5}$ и $\sqrt{x+3}$, существуют и строго положительны (так как $x > -3$ влечет $x+5 > 2$ и $x+3 > 0$). Следовательно, знак всего выражения совпадает со знаком дроби $\frac{x-2}{x-3}$. Исходное неравенство равносильно неравенству $\frac{x-2}{x-3} \ge 0$ на найденной ОДЗ.

Решим $\frac{x-2}{x-3} \ge 0$ методом интервалов. Корень числителя $x=2$ (входит в решение, так как неравенство нестрогое), корень знаменателя $x=3$ (не входит в решение).
- при $x \in (3, +\infty)$ выражение положительно (+)
- при $x \in [2, 3)$ выражение отрицательно (-)
- при $x \in (-\infty, 2]$ выражение положительно (+)

Решением неравенства $\frac{x-2}{x-3} \ge 0$ является $x \in (-\infty, 2] \cup (3, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in ((-\infty, 2] \cup (3, +\infty)) \cap ((-3, 3) \cup (3, +\infty))$.

Пересечение дает итоговый ответ: $x \in (-3, 2] \cup (3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3, 2] \cup (3, +\infty)$.

3) $(x+1)(x-2)\sqrt{(3-x)(x+2)} > 0$

Найдем ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$(3-x)(x+2) \ge 0$.
Корнями являются $x=3$ и $x=-2$. Это парабола с ветвями вниз, поэтому она неотрицательна между корнями.
ОДЗ: $x \in [-2, 3]$.

Так как неравенство строгое ($>0$), то и подкоренное выражение должно быть строго положительным: $(3-x)(x+2) > 0$, что выполняется при $x \in (-2, 3)$. На этом интервале множитель $\sqrt{(3-x)(x+2)}$ всегда положителен, и знак левой части неравенства определяется знаком выражения $(x+1)(x-2)$. Таким образом, задача сводится к решению системы:

$\begin{cases} (x+1)(x-2) > 0 \\ x \in (-2, 3) \end{cases}$

Решим первое неравенство $(x+1)(x-2) > 0$. Корни $x=-1$ и $x=2$. Это парабола с ветвями вверх, она положительна вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, +\infty)$.

Найдем пересечение полученного множества с условием $x \in (-2, 3)$:
$x \in ((-\infty, -1) \cup (2, +\infty)) \cap (-2, 3)$.
Пересечение интервалов дает $x \in (-2, -1) \cup (2, 3)$.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (2, 3)$.