Страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

137. Найти координаты вершины параболы:

1) $y = (x - 1)^2 + 5$;

2) $y = -(x + 2)^2 - 3$;

3) $y = -(x + 3)^2$;

4) $y = x^2 - 7$;

5) $y = 2x^2 - 4x + 1$;

6) $y = 3x^2 + 6x - 7$;

7) $y = -4x^2 + 16x - 2$;

8) $y = -5x^2 - 20x - 13$.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ можно найти двумя основными способами, в зависимости от формы записи уравнения.

Способ 1: Вершинная форма. Если уравнение параболы представлено в виде $y = a(x - h)^2 + k$, то координаты ее вершины — это $(h, k)$.

Способ 2: Стандартная форма. Если уравнение параболы представлено в виде $y = ax^2 + bx + c$, то координаты ее вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$ (то есть, для нахождения $y_0$ нужно подставить найденное значение $x_0$ в исходное уравнение).

1) $y = (x - 1)^2 + 5$

Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $a=1$, $h=1$ и $k=5$.

Следовательно, координаты вершины: $(h, k) = (1, 5)$.

Ответ: $(1; 5)$

2) $y = -(x + 2)^2 - 3$

Уравнение представлено в вершинной форме. Его можно записать как $y = -1 \cdot (x - (-2))^2 + (-3)$.

Здесь $a=-1$, $h=-2$ и $k=-3$.

Координаты вершины: $(h, k) = (-2, -3)$.

Ответ: $(-2; -3)$

3) $y = -(x + 3)^2$

Уравнение представлено в вершинной форме. Его можно записать как $y = -1 \cdot (x - (-3))^2 + 0$.

Здесь $a=-1$, $h=-3$ и $k=0$.

Координаты вершины: $(h, k) = (-3, 0)$.

Ответ: $(-3; 0)$

4) $y = x^2 - 7$

Уравнение представлено в стандартной форме $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$, $b=0$, $c=-7$.

Находим абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.

Находим ординату вершины, подставив $x_0 = 0$: $y_0 = (0)^2 - 7 = -7$.

Координаты вершины: $(0, -7)$.

Ответ: $(0; -7)$

5) $y = 2x^2 - 4x + 1$

Уравнение представлено в стандартной форме $y = ax^2 + bx + c$, где $a=2$, $b=-4$, $c=1$.

Находим абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Находим ординату вершины, подставив $x_0 = 1$: $y_0 = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$.

Координаты вершины: $(1, -1)$.

Ответ: $(1; -1)$

6) $y = 3x^2 + 6x - 7$

Уравнение представлено в стандартной форме $y = ax^2 + bx + c$, где $a=3$, $b=6$, $c=-7$.

Находим абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 3} = -\frac{6}{6} = -1$.

Находим ординату вершины, подставив $x_0 = -1$: $y_0 = 3(-1)^2 + 6(-1) - 7 = 3 - 6 - 7 = -10$.

Координаты вершины: $(-1, -10)$.

Ответ: $(-1; -10)$

7) $y = -4x^2 + 16x - 2$

Уравнение представлено в стандартной форме $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-4$, $b=16$, $c=-2$.

Находим абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{16}{2 \cdot (-4)} = -\frac{16}{-8} = 2$.

Находим ординату вершины, подставив $x_0 = 2$: $y_0 = -4(2)^2 + 16(2) - 2 = -4 \cdot 4 + 32 - 2 = -16 + 32 - 2 = 14$.

Координаты вершины: $(2, 14)$.

Ответ: $(2; 14)$

8) $y = -5x^2 - 20x - 13$

Уравнение представлено в стандартной форме $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-5$, $b=-20$, $c=-13$.

Находим абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-20}{2 \cdot (-5)} = \frac{20}{-10} = -2$.

Находим ординату вершины, подставив $x_0 = -2$: $y_0 = -5(-2)^2 - 20(-2) - 13 = -5 \cdot 4 + 40 - 13 = -20 + 40 - 13 = 7$.

Координаты вершины: $(-2, 7)$.

Ответ: $(-2; 7)$

138. Построить график функции:

1) $y = x^2 + 3;$

2) $y = (x + 3)^2;$

3) $y = x^2 - 6x + 9;$

4) $y = x^2 + x + \frac{1}{4};$

5) $y = x^2 + 2x;$

6) $y = x^2 - 2x;$

7) $y = (x - 3)(x + 1);$

8) $y = (x - 1)(x + 5);$

9) $y = x^2 + 3x - 4;$

10) $y = x^2 - 3x - 4.$

1) y = x² + 3;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a=1$), что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы. Функция представлена в виде $y = ax^2 + c$. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 3 единицы вверх по оси Oy. Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке $(0,0)$, следовательно, вершина параболы $y = x^2 + 3$ находится в точке $(0, 3)$.
Можно также найти вершину по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. В данном случае $b=0$, поэтому $x_v = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
$y_v = 0^2 + 3 = 3$. Координаты вершины: $(0, 3)$.
3. Ось симметрии. Проходит через вершину параболы параллельно оси Oy. Уравнение оси симметрии: $x = 0$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = 0^2 + 3 = 3$. Точка пересечения $(0, 3)$.
- С осью Ox: $y=0$, $x^2 + 3 = 0$, $x^2 = -3$. Действительных корней нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Значит, график не пересекает ось Ox.
5. Дополнительные точки. Возьмем точки, симметричные относительно оси симметрии $x=0$.
При $x=1$, $y = 1^2 + 3 = 4$. Точка $(1, 4)$.
При $x=-1$, $y = (-1)^2 + 3 = 4$. Точка $(-1, 4)$.
При $x=2$, $y = 2^2 + 3 = 7$. Точка $(2, 7)$.
При $x=-2$, $y = (-2)^2 + 3 = 7$. Точка $(-2, 7)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(0, 3)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=0$. График проходит через точки $(-1, 4)$, $(1, 4)$, $(-2, 7)$, $(2, 7)$.

2) y = (x + 3)²;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Направление ветвей. Раскроем скобки: $y = x^2 + 6x + 9$. Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a=1$), ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы. Функция представлена в виде $y = a(x-h)^2 + k$. В нашем случае $y = (x - (-3))^2 + 0$. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 3 единицы влево по оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$.
3. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = -3$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = (0+3)^2 = 9$. Точка пересечения $(0, 9)$.
- С осью Ox: $y=0$, $(x+3)^2 = 0$, $x+3=0$, $x=-3$. Точка пересечения $(-3, 0)$, которая является вершиной параболы.
5. Дополнительные точки.
При $x=-2$, $y = (-2+3)^2 = 1^2 = 1$. Точка $(-2, 1)$.
При $x=-4$, $y = (-4+3)^2 = (-1)^2 = 1$. Точка $(-4, 1)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-3, 0)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=-3$. График пересекает ось Oy в точке $(0, 9)$.

3) y = x² - 6x + 9;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Преобразование формулы. Заметим, что выражение $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$. Таким образом, функция имеет вид $y = (x-3)^2$.
2. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви параболы направлены вверх.
3. Вершина параболы. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 3 единицы вправо по оси Ox. Вершина находится в точке $(3, 0)$.
4. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = 3$.
5. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = (0-3)^2 = 9$. Точка пересечения $(0, 9)$.
- С осью Ox: $y=0$, $(x-3)^2 = 0$, $x=3$. Точка пересечения $(3, 0)$, которая является вершиной.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(3, 0)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=3$. График пересекает ось Oy в точке $(0, 9)$.

4) y = x² + x + 1/4;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Преобразование формулы. Выражение $x^2 + x + \frac{1}{4}$ является полным квадратом: $x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (x+\frac{1}{2})^2$. Таким образом, функция имеет вид $y = (x+\frac{1}{2})^2$.
2. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви параболы направлены вверх.
3. Вершина параболы. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на $\frac{1}{2}$ единицы влево по оси Ox. Вершина находится в точке $(-\frac{1}{2}, 0)$.
4. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = -\frac{1}{2}$.
5. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = (0+\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Точка пересечения $(0, \frac{1}{4})$.
- С осью Ox: $y=0$, $(x+\frac{1}{2})^2 = 0$, $x=-\frac{1}{2}$. Точка пересечения $(-\frac{1}{2}, 0)$, которая является вершиной.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-\frac{1}{2}, 0)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=-\frac{1}{2}$. График пересекает ось Oy в точке $(0, \frac{1}{4})$.

5) y = x² + 2x;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви направлены вверх.
2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины по формулам $x_v = -\frac{b}{2a}$, $y_v = y(x_v)$.
$a=1, b=2, c=0$.
$x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
Вершина находится в точке $(-1, -1)$.
3. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = -1$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
- С осью Ox: $y=0$, $x^2 + 2x = 0$, $x(x+2) = 0$. Корни $x_1=0$, $x_2=-2$. Точки пересечения $(0, 0)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-1, -1)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=-1$. График пересекает оси координат в точках $(0, 0)$ и $(-2, 0)$.

6) y = x² - 2x;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви направлены вверх.
2. Вершина параболы. $a=1, b=-2, c=0$.
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_v = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
Вершина находится в точке $(1, -1)$.
3. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = 1$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
- С осью Ox: $y=0$, $x^2 - 2x = 0$, $x(x-2) = 0$. Корни $x_1=0$, $x_2=2$. Точки пересечения $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1, -1)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=1$. График пересекает оси координат в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

7) y = (x - 3)(x + 1);

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Преобразование формулы. Раскроем скобки: $y = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3$.
2. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви направлены вверх.
3. Точки пересечения с осью Ox (нули функции). Из исходного вида $y=(x-3)(x+1)$ видно, что $y=0$ при $x-3=0$ или $x+1=0$.
Корни $x_1=3$, $x_2=-1$. Точки пересечения с осью Ox: $(3, 0)$ и $(-1, 0)$.
4. Вершина параболы. Абсцисса вершины находится посередине между корнями:
$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$y_v = (1 - 3)(1 + 1) = (-2)(2) = -4$.
Вершина находится в точке $(1, -4)$.
5. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = 1$.
6. Точка пересечения с осью Oy. $x=0$, $y = (0-3)(0+1) = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1, -4)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=1$. График пересекает ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$ и ось Oy в точке $(0, -3)$.

8) y = (x - 1)(x + 5);

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Преобразование формулы. $y = x^2 + 5x - x - 5 = x^2 + 4x - 5$.
2. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви направлены вверх.
3. Точки пересечения с осью Ox. Из $y=(x-1)(x+5)$ следует, что $y=0$ при $x=1$ или $x=-5$.
Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(-5, 0)$.
4. Вершина параболы.
$x_v = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
$y_v = (-2 - 1)(-2 + 5) = (-3)(3) = -9$.
Вершина находится в точке $(-2, -9)$.
5. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = -2$.
6. Точка пересечения с осью Oy. $x=0$, $y = (0-1)(0+5) = -5$. Точка пересечения $(0, -5)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-2, -9)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=-2$. График пересекает ось Ox в точках $(-5, 0)$ и $(1, 0)$ и ось Oy в точке $(0, -5)$.

9) y = x² + 3x - 4;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви направлены вверх.
2. Вершина параболы. $a=1, b=3, c=-4$.
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.
$y_v = (-1.5)^2 + 3(-1.5) - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25$.
Вершина находится в точке $(-1.5, -6.25)$.
3. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = -1.5$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = -4$. Точка пересечения $(0, -4)$.
- С осью Ox: $y=0$, $x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1=-4$, $x_2=1$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-4, 0)$ и $(1, 0)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-1.5, -6.25)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=-1.5$. График пересекает ось Ox в точках $(-4, 0)$ и $(1, 0)$ и ось Oy в точке $(0, -4)$.

10) y = x² - 3x - 4.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви направлены вверх.
2. Вершина параболы. $a=1, b=-3, c=-4$.
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$.
$y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25$.
Вершина находится в точке $(1.5, -6.25)$.
3. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = 1.5$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = -4$. Точка пересечения $(0, -4)$.
- С осью Ox: $y=0$, $x^2 - 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1=4$, $x_2=-1$.
Точки пересечения с осью Ox: $(4, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1.5, -6.25)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=1.5$. График пересекает ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(4, 0)$ и ось Oy в точке $(0, -4)$.

139. Построить график функции:

1) $y = x^2 + 2x - 4$; 2) $y = -x^2 + 4x - 5$;

3) $y = -x^2 - x + 2$; 4) $y = x^2 + 4x - 5$.

Найти:

а) координаты вершины параболы;

б) нули функции;

в) интервалы знакопостоянства функции;

г) наибольшее или наименьшее значение функции.

1) $y = x^2 + 2x - 4$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1, b=2, c=-4$. Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

а) координаты вершины параболы
Координата $x_v$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
Координату $y_v$ найдем, подставив $x_v$ в уравнение функции: $y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 4 = 1 - 2 - 4 = -5$.
Ответ: Координаты вершины параболы $(-1, -5)$.

б) нули функции
Для нахождения нулей функции решим уравнение $x^2 + 2x - 4 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$.
Ответ: Нули функции $x_1 = -1 - \sqrt{5}$, $x_2 = -1 + \sqrt{5}$.

в) интервалы знакопостоянства функции
Так как ветви параболы направлены вверх и нули функции $x_1 = -1 - \sqrt{5}$ и $x_2 = -1 + \sqrt{5}$, то:
Функция положительна ($y > 0$) при $x \in (-\infty, -1 - \sqrt{5}) \cup (-1 + \sqrt{5}, +\infty)$.
Функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -1 - \sqrt{5}) \cup (-1 + \sqrt{5}, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})$.

г) наибольшее или наименьшее значение функции
Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Наибольшего значения нет.
$y_{min} = y_v = -5$.
Ответ: Наименьшее значение функции $y_{min} = -5$.

Для построения графика используются найденные ключевые точки: вершина $(-1, -5)$, нули функции (точки пересечения с осью Ox) $(-1 - \sqrt{5}, 0)$ и $(-1 + \sqrt{5}, 0)$, и точка пересечения с осью OY $(0, -4)$.

2) $y = -x^2 + 4x - 5$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-1, b=4, c=-5$. Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

а) координаты вершины параболы
Координата $x_v$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$.
Координату $y_v$ найдем, подставив $x_v$: $y_v = -(2)^2 + 4(2) - 5 = -4 + 8 - 5 = -1$.
Ответ: Координаты вершины параболы $(2, -1)$.

б) нули функции
Для нахождения нулей функции решим уравнение $-x^2 + 4x - 5 = 0$ или $x^2 - 4x + 5 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$.
Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: Нулей у функции нет.

в) интервалы знакопостоянства функции
Так как ветви параболы направлены вниз и нулей у функции нет, вся парабола находится ниже оси Ox. Следовательно, функция всегда отрицательна.
Ответ: $y < 0$ при $x \in (-\infty, +\infty)$.

г) наибольшее или наименьшее значение функции
Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Наименьшего значения нет.
$y_{max} = y_v = -1$.
Ответ: Наибольшее значение функции $y_{max} = -1$.

Для построения графика используются найденные ключевые точки: вершина $(2, -1)$ и точка пересечения с осью OY $(0, -5)$. Парабола не пересекает ось Ox.

3) $y = -x^2 - x + 2$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-1, b=-1, c=2$. Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

а) координаты вершины параболы
Координата $x_v$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -0.5$.
Координата $y_v$ вершины: $y_v = -(-0.5)^2 - (-0.5) + 2 = -0.25 + 0.5 + 2 = 2.25$.
Ответ: Координаты вершины параболы $(-0.5, 2.25)$.

б) нули функции
Решим уравнение $-x^2 - x + 2 = 0$ или $x^2 + x - 2 = 0$.
По теореме Виета корни $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.
Ответ: Нули функции $x_1 = -2$, $x_2 = 1$.

в) интервалы знакопостоянства функции
Ветви параболы направлены вниз, нули функции $x = -2$ и $x = 1$.
Функция положительна ($y > 0$) между корнями: при $x \in (-2, 1)$.
Функция отрицательна ($y < 0$) вне интервала между корнями: при $x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-2, 1)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$.

г) наибольшее или наименьшее значение функции
Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. Наименьшего значения нет.
$y_{max} = y_v = 2.25$.
Ответ: Наибольшее значение функции $y_{max} = 2.25$.

Для построения графика используются найденные ключевые точки: вершина $(-0.5, 2.25)$, нули функции $(-2, 0)$ и $(1, 0)$, и точка пересечения с осью OY $(0, 2)$.

4) $y = x^2 + 4x - 5$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1, b=4, c=-5$. Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

а) координаты вершины параболы
Координата $x_v$ вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Координата $y_v$ вершины: $y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Ответ: Координаты вершины параболы $(-2, -9)$.

б) нули функции
Решим уравнение $x^2 + 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета корни $x_1 = -5$, $x_2 = 1$.
Ответ: Нули функции $x_1 = -5$, $x_2 = 1$.

в) интервалы знакопостоянства функции
Ветви параболы направлены вверх, нули функции $x = -5$ и $x = 1$.
Функция положительна ($y > 0$) вне интервала между корнями: при $x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)$.
Функция отрицательна ($y < 0$) между корнями: при $x \in (-5, 1)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-5, 1)$.

г) наибольшее или наименьшее значение функции
Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Наибольшего значения нет.
$y_{min} = y_v = -9$.
Ответ: Наименьшее значение функции $y_{min} = -9$.

Для построения графика используются найденные ключевые точки: вершина $(-2, -9)$, нули функции $(-5, 0)$ и $(1, 0)$, и точка пересечения с осью OY $(0, -5)$.

140. Найти наименьшее значение квадратичной функции:

1) $y = x^2 + 8;$

2) $y = 2x^2 - 3;$

3) $y = (x + 7)^2 - 5;$

4) $y = (x + 7)^2 + 4.$

1) $y = x^2 + 8$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля ($1 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного значения $x$. Наименьшее значение $x^2$ равно 0 и достигается при $x = 0$.

Следовательно, наименьшее значение функции $y$ будет достигаться, когда слагаемое $x^2$ принимает свое минимальное значение:

$y_{min} = 0 + 8 = 8$.

Это значение достигается при $x = 0$.

Ответ: 8

2) $y = 2x^2 - 3$

Это квадратичная функция, ветви параболы которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 2, а $2 > 0$. Функция имеет наименьшее значение в вершине.

Рассмотрим слагаемое $2x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$, то и $2x^2 \ge 0$. Наименьшее значение выражения $2x^2$ равно 0 и достигается при $x = 0$.

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ равно:

$y_{min} = 2 \cdot 0 - 3 = -3$.

Это значение достигается при $x = 0$.

Ответ: -3

3) $y = (x + 7)^2 - 5$

Данная функция также является квадратичной. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент перед скобкой в квадрате равен 1, что больше 0). Наименьшее значение функция принимает в своей вершине.

Выражение в скобках, возведенное в квадрат, $(x + 7)^2$, всегда неотрицательно: $(x + 7)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого выражения равно 0. Оно достигается, когда основание степени равно нулю:

$x + 7 = 0 \implies x = -7$.

Подставим минимальное значение квадрата в функцию, чтобы найти ее наименьшее значение:

$y_{min} = 0 - 5 = -5$.

Это значение достигается при $x = -7$.

Ответ: -5

4) $y = (x + 7)^2 + 4$

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх (коэффициент равен 1, $1 > 0$). Наименьшее значение достигается в вершине параболы.

Выражение $(x + 7)^2$ является квадратом и, следовательно, всегда больше или равно нулю: $(x + 7)^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x + 7 = 0$, то есть при $x = -7$.

Тогда наименьшее значение всей функции будет:

$y_{min} = 0 + 4 = 4$.

Это значение достигается при $x = -7$.

Ответ: 4

141. Найти наибольшее значение квадратичной функции:

1) $y = -x^2 + 1$;

2) $y = -3x^2 - 1$;

3) $y = -(x + 1)^2 + 2$;

4) $y = -2(x - 3)^2 + 6$.

1)

Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 1$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -1$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ можно найти по формуле для абсциссы $x_0 = -b/(2a)$.
В нашем случае $a=-1, b=0, c=1$.
Находим абсциссу вершины: $x_0 = -0 / (2 \cdot (-1)) = 0$.
Подставим $x_0 = 0$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины, которая и является наибольшим значением функции:
$y_{наиб} = y(0) = -(0)^2 + 1 = 1$.
Также можно рассуждать иначе: выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), следовательно, выражение $-x^2$ всегда неположительно ($-x^2 \le 0$). Его наибольшее значение равно 0 и достигается при $x=0$. Тогда наибольшее значение функции $y = -x^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$.
Ответ: 1

2)

Рассмотрим функцию $y = -3x^2 - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вниз, так как коэффициент $a = -3 < 0$. Наибольшее значение функция принимает в вершине.
Здесь $a=-3, b=0, c=-1$.
Абсцисса вершины: $x_0 = -0 / (2 \cdot (-3)) = 0$.
Ордината вершины (наибольшее значение):
$y_{наиб} = y(0) = -3(0)^2 - 1 = -1$.
Альтернативное рассуждение: так как $x^2 \ge 0$, то $-3x^2 \le 0$. Наибольшее значение $-3x^2$ равно 0 (при $x=0$). Тогда наибольшее значение функции $y = -3x^2 - 1$ равно $0 - 1 = -1$.
Ответ: -1

3)

Рассмотрим функцию $y = -(x + 1)^2 + 2$. Функция представлена в виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — это координаты вершины параболы.
В данном случае $a = -1$, $h = -1$ (так как $x - (-1) = x+1$), $k = 2$.
Поскольку коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз, и её наибольшее значение равно ординате вершины $k$.
$y_{наиб} = k = 2$. Это значение достигается при $x = h = -1$.
Альтернативное рассуждение: квадрат любого выражения неотрицателен, поэтому $(x+1)^2 \ge 0$. Тогда $-(x+1)^2 \le 0$. Наибольшее значение выражения $-(x+1)^2$ равно 0 (при $x=-1$). Следовательно, наибольшее значение функции $y = -(x+1)^2 + 2$ равно $0+2=2$.
Ответ: 2

4)

Рассмотрим функцию $y = -2(x - 3)^2 + 6$. Эта функция также представлена в виде $y = a(x - h)^2 + k$.
Здесь $a = -2$, $h = 3$, $k = 6$.
Коэффициент $a = -2$ отрицателен, значит, ветви параболы направлены вниз, и наибольшее значение функции равно ординате вершины $k$.
$y_{наиб} = k = 6$. Это значение достигается при $x = h = 3$.
Альтернативное рассуждение: выражение $(x-3)^2 \ge 0$. Значит, $-2(x-3)^2 \le 0$. Наибольшее значение выражения $-2(x-3)^2$ равно 0 (при $x=3$). Следовательно, наибольшее значение всей функции $y = -2(x-3)^2 + 6$ равно $0+6=6$.
Ответ: 6

142. Построить график функции:

1) $y = -x^2 + 2x;$ 2) $y = -x^2 - 4x;$ 3) $y = 2x^2 - 4x + 1;$

4) $y = 2x^2 + 4x + 1;$ 5) $y = -2x^2 + 2x - 1;$ 6) $y = -2x^2 + 4x - 1.$

1)

Для построения графика функции $y = -x^2 + 2x$ определим его ключевые характеристики.

Тип графика и направление ветвей:
Функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент при старшем члене $a = -1$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы:
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
В данном случае $a=-1, b=2, c=0$.
$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
$y_0 = -(1)^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$.
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Ось симметрии — прямая $x=1$.

Точки пересечения с осями координат:
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = -0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$-x^2 + 2x = 0 \Rightarrow -x(x-2)=0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Дополнительные точки:
Возьмем точку $x=3$.
$y(3) = -(3)^2 + 2(3) = -9 + 6 = -3$. Получили точку $(3, -3)$.
Точка, симметричная ей относительно оси $x=1$, это точка $(-1, -3)$.

Построение:
Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1, 1)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(2, 0)$, а также дополнительные точки $(3, -3)$ и $(-1, -3)$. Соединяем их плавной линией, учитывая, что ветви направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 2x$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 1)$, ветвями, направленными вниз, пересекающая ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

2)

Для построения графика функции $y = -x^2 - 4x$ определим его ключевые характеристики.

Тип графика и направление ветвей:
Функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент $a = -1$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы:
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для $a=-1, b=-4, c=0$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$.
$y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$.
Вершина параболы находится в точке $(-2, 4)$. Ось симметрии — прямая $x=-2$.

Точки пересечения с осями координат:
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = -0^2 - 4 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$-x^2 - 4x = 0 \Rightarrow -x(x+4)=0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = -4$.
Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(-4, 0)$.

Дополнительные точки:
Возьмем точку $x=-1$.
$y(-1) = -(-1)^2 - 4(-1) = -1 + 4 = 3$. Получили точку $(-1, 3)$.
Точка, симметричная ей относительно оси $x=-2$, это точка $(-3, 3)$.

Построение:
Отмечаем на координатной плоскости вершину $(-2, 4)$, точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(-4, 0)$, а также дополнительные точки $(-1, 3)$ и $(-3, 3)$. Соединяем их плавной линией.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 4x$ — это парабола с вершиной в точке $(-2, 4)$, ветвями, направленными вниз, пересекающая ось Ox в точках $(-4, 0)$ и $(0, 0)$.

3)

Для построения графика функции $y = 2x^2 - 4x + 1$ определим его ключевые характеристики.

Тип графика и направление ветвей:
Функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент $a = 2$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы:
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для $a=2, b=-4, c=1$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$.
$y_0 = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(1, -1)$. Ось симметрии — прямая $x=1$.

Точки пересечения с осями координат:
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = 2(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$2x^2 - 4x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8$.
$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x_1 \approx 1 - 0.71 = 0.29$, $x_2 \approx 1 + 0.71 = 1.71$.
Точки пересечения — $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ и $(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$.

Дополнительные точки:
Используем точку пересечения с Oy $(0, 1)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет $(2, 1)$.
Проверка: $y(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$.

Построение:
Отмечаем на координатной плоскости вершину $(1, -1)$, точку пересечения с Oy $(0, 1)$ и симметричную ей точку $(2, 1)$, а также точки пересечения с Ox. Соединяем их плавной линией.

Ответ: График функции $y = 2x^2 - 4x + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(1, -1)$, ветвями, направленными вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, 1)$.

4)

Для построения графика функции $y = 2x^2 + 4x + 1$ определим его ключевые характеристики.

Тип графика и направление ветвей:
Функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент $a = 2 > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Вершина параболы:
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для $a=2, b=4, c=1$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.
$y_0 = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$. Ось симметрии — прямая $x=-1$.

Точки пересечения с осями координат:
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = 2(0)^2 + 4(0) + 1 = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$2x^2 + 4x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8$.
$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x_1 \approx -1 - 0.71 = -1.71$, $x_2 \approx -1 + 0.71 = -0.29$.
Точки пересечения — $(-1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ и $(-1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$.

Дополнительные точки:
Используем точку пересечения с Oy $(0, 1)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=-1$ будет $(-2, 1)$.
Проверка: $y(-2) = 2(-2)^2 + 4(-2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1$.

Построение:
Отмечаем вершину $(-1, -1)$, точку $(0, 1)$ и симметричную ей $(-2, 1)$, точки пересечения с Ox. Соединяем точки плавной линией.

Ответ: График функции $y = 2x^2 + 4x + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(-1, -1)$, ветвями, направленными вверх, пересекающая ось Oy в точке $(0, 1)$.

5)

Для построения графика функции $y = -2x^2 + 2x - 1$ определим его ключевые характеристики.

Тип графика и направление ветвей:
Функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент $a = -2 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы:
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для $a=-2, b=2, c=-1$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = \frac{1}{2}$.
$y_0 = -2(\frac{1}{2})^2 + 2(\frac{1}{2}) - 1 = -2(\frac{1}{4}) + 1 - 1 = -\frac{1}{2}$.
Вершина параболы находится в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$. Ось симметрии — прямая $x=\frac{1}{2}$.

Точки пересечения с осями координат:
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = -2(0)^2 + 2(0) - 1 = -1$. Точка пересечения — $(0, -1)$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$-2x^2 + 2x - 1 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 2x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(2)(1) = 4 - 8 = -4$.
Поскольку $D < 0$, действительных корней нет, и парабола не пересекает ось Ox.

Дополнительные точки:
Используем точку пересечения с Oy $(0, -1)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=0.5$ будет $(1, -1)$.
Проверка: $y(1) = -2(1)^2 + 2(1) - 1 = -2 + 2 - 1 = -1$.

Построение:
Отмечаем вершину $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$, точку $(0, -1)$ и симметричную ей $(1, -1)$. Соединяем точки плавной линией, направленной вниз.

Ответ: График функции $y = -2x^2 + 2x - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$, ветвями, направленными вниз, не пересекающая ось Ox и пересекающая ось Oy в точке $(0, -1)$.

6)

Для построения графика функции $y = -2x^2 + 4x - 1$ определим его ключевые характеристики.

Тип графика и направление ветвей:
Функция является квадратичной, ее график — парабола. Коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Вершина параболы:
Координаты вершины $(x_0, y_0)$ для $a=-2, b=4, c=-1$.
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = 1$.
$y_0 = -2(1)^2 + 4(1) - 1 = -2 + 4 - 1 = 1$.
Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Ось симметрии — прямая $x=1$.

Точки пересечения с осями координат:
Пересечение с осью Oy (при $x=0$):
$y = -2(0)^2 + 4(0) - 1 = -1$. Точка пересечения — $(0, -1)$.
Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
$-2x^2 + 4x - 1 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 4x + 1 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8$.
$x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x_1 \approx 0.29$, $x_2 \approx 1.71$.
Точки пересечения — $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ и $(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$.

Дополнительные точки:
Используем точку пересечения с Oy $(0, -1)$. Симметричная ей точка относительно оси $x=1$ будет $(2, -1)$.
Проверка: $y(2) = -2(2)^2 + 4(2) - 1 = -8 + 8 - 1 = -1$.

Построение:
Отмечаем вершину $(1, 1)$, точку $(0, -1)$ и симметричную ей $(2, -1)$, а также точки пересечения с Ox. Соединяем точки плавной линией, направленной вниз.

Ответ: График функции $y = -2x^2 + 4x - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(1, 1)$, ветвями, направленными вниз, пересекающая ось Oy в точке $(0, -1)$.

143. Определить наименьшее (наибольшее) значение функции:

1) $y = -5(x + 3)^2 + 1;$

2) $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 4;$

3) $y = x^2 - 4x + 9;$

4) $y = -x^2 + 6x - 1.$

Для нахождения наименьшего или наибольшего значения квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ необходимо найти координаты ее вершины $(x_v, y_v)$. Значение $y_v$ и будет искомым экстремумом. Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх и функция имеет наименьшее значение. Если $a < 0$, ветви направлены вниз и функция имеет наибольшее значение. Для функции, представленной в виде $y = a(x-h)^2 + k$, вершина находится в точке $(h, k)$, и $k$ является наименьшим (при $a > 0$) или наибольшим (при $a < 0$) значением.

1) $y = -5(x + 3)^2 + 1$

Функция представлена в виде $y = a(x-h)^2+k$, где $a = -5$, $h = -3$, $k = 1$.

Так как коэффициент $a = -5 < 0$, ветви параболы направлены вниз, следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Координаты вершины — $(-3, 1)$. Наибольшее значение функции равно ординате вершины, то есть $1$. Оно достигается при $x=-3$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 1.

2) $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 4$

Функция представлена в виде $y = a(x-h)^2+k$, где $a = \frac{1}{2}$, $h = 2$, $k = -4$.

Так как коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, ветви параболы направлены вверх, следовательно, функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координаты вершины — $(2, -4)$. Наименьшее значение функции равно ординате вершины, то есть $-4$. Оно достигается при $x=2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4.

3) $y = x^2 - 4x + 9$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2+bx+c$, с коэффициентами $a = 1$, $b = -4$, $c = 9$.

Поскольку $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх, значит, функция имеет наименьшее значение.

Для нахождения вершины можно использовать формулу $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Теперь найдем наименьшее значение функции, подставив $x_v = 2$ в исходное уравнение:

$y_{min} = (2)^2 - 4(2) + 9 = 4 - 8 + 9 = 5$.

Другой способ — выделить полный квадрат: $y = (x^2 - 4x + 4) + 5 = (x-2)^2 + 5$. Из этой формы видно, что наименьшее значение функции равно 5.

Ответ: наименьшее значение функции равно 5.

4) $y = -x^2 + 6x - 1$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2+bx+c$, с коэффициентами $a = -1$, $b = 6$, $c = -1$.

Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз, значит, функция имеет наибольшее значение.

Найдем абсциссу вершины по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$.

Теперь найдем наибольшее значение функции, подставив $x_v = 3$ в исходное уравнение:

$y_{max} = -(3)^2 + 6(3) - 1 = -9 + 18 - 1 = 8$.

Другой способ — выделить полный квадрат: $y = -(x^2 - 6x) - 1 = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 1 = -(x-3)^2 + 9 - 1 = -(x-3)^2 + 8$. Из этой формы видно, что наибольшее значение функции равно 8.

Ответ: наибольшее значение функции равно 8.

144. Найти значение x, при котором функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. Найти это значение функции:

1) $y = x^2 - 4x + 1$;

2) $y = x^2 + 6x - 3$;

3) $y = -x^2 + 2x + 3$;

4) $y = -x^2 - 2x + 5$;

5) $y = -2x^2 + 4x + 1$;

6) $y = 2x^2 + 6x - 1.

Для нахождения наибольшего или наименьшего значения квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ необходимо найти координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Значение $x_0$ — это точка, в которой достигается экстремум (максимум или минимум), а $y_0$ — это и есть наибольшее или наименьшее значение функции.

Координата $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Если коэффициент $a > 0$, ветви параболы направлены вверх, и в вершине функция достигает своего наименьшего значения.

Если коэффициент $a < 0$, ветви параболы направлены вниз, и в вершине функция достигает своего наибольшего значения.

1) $y = x^2 - 4x + 1$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 1$, $b = -4$, $c = 1$.

Поскольку $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.

Найдем наименьшее значение функции, подставив $x_0 = 2$:

$y_{наим} = y(2) = (2)^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$.

Ответ: при $x = 2$ функция принимает наименьшее значение, равное $-3$.

2) $y = x^2 + 6x - 3$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 1$, $b = 6$, $c = -3$.

Поскольку $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.

Найдем наименьшее значение функции, подставив $x_0 = -3$:

$y_{наим} = y(-3) = (-3)^2 + 6(-3) - 3 = 9 - 18 - 3 = -12$.

Ответ: при $x = -3$ функция принимает наименьшее значение, равное $-12$.

3) $y = -x^2 + 2x + 3$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -1$, $b = 2$, $c = 3$.

Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{2}{-2} = 1$.

Найдем наибольшее значение функции, подставив $x_0 = 1$:

$y_{наиб} = y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.

Ответ: при $x = 1$ функция принимает наибольшее значение, равное $4$.

4) $y = -x^2 - 2x + 5$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -1$, $b = -2$, $c = 5$.

Поскольку $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$.

Найдем наибольшее значение функции, подставив $x_0 = -1$:

$y_{наиб} = y(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 5 = -1 + 2 + 5 = 6$.

Ответ: при $x = -1$ функция принимает наибольшее значение, равное $6$.

5) $y = -2x^2 + 4x + 1$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -2$, $b = 4$, $c = 1$.

Поскольку $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$.

Найдем наибольшее значение функции, подставив $x_0 = 1$:

$y_{наиб} = y(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = -2 + 4 + 1 = 3$.

Ответ: при $x = 1$ функция принимает наибольшее значение, равное $3$.

6) $y = 2x^2 + 6x - 1$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = 2$, $b = 6$, $c = -1$.

Поскольку $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх, и функция имеет наименьшее значение.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} = -1.5$.

Найдем наименьшее значение функции, подставив $x_0 = -1.5$:

$y_{наим} = y(-1.5) = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) - 1 = 2(2.25) - 9 - 1 = 4.5 - 9 - 1 = -5.5$.

Ответ: при $x = -1.5$ функция принимает наименьшее значение, равное $-5.5$.

145. Найти значения p и q квадратичной функции $y = x^2 + px + q$, используя её график: 1) на рисунке 26, а; 2) на рисунке 26, б; 3) на рисунке 26, в; 4) на рисунке 26, г.

а) б) в) г) Рис. 26

1) на рисунке 26, а
Для квадратичной функции вида $y = x^2 + px + q$ коэффициент $q$ равен ординате точки пересечения графика с осью $y$. Из графика а) видно, что парабола пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$, следовательно, $q = 1$.
Абсцисса вершины параболы $x_в$ связана с коэффициентом $p$ формулой $x_в = -p/2$. Из графика видно, что вершина параболы находится в точке $(1, 0)$, значит $x_в = 1$.
Подставим значение $x_в$ в формулу: $1 = -p/2$. Отсюда находим $p = -2$.
Таким образом, уравнение параболы имеет вид $y = x^2 - 2x + 1$, что можно записать как $y = (x-1)^2$. Вершина этой параболы действительно находится в точке $(1, 0)$, что полностью соответствует графику.
Ответ: $p = -2, q = 1$.

2) на рисунке 26, б
Из графика б) видно, что парабола пересекает ось $y$ в точке $(0, 4)$. Следовательно, $q = 4$.
Вершина параболы находится в точке $(-2, 0)$, значит, абсцисса вершины $x_в = -2$.
Используем формулу для абсциссы вершины: $x_в = -p/2$.
Подставляем известное значение $x_в$: $-2 = -p/2$. Отсюда находим, что $p = 4$.
Проверим: уравнение параболы $y = x^2 + 4x + 4$, или $y = (x+2)^2$. Вершина этой параболы находится в точке $(-2, 0)$, что соответствует графику.
Ответ: $p = 4, q = 4$.

3) на рисунке 26, в
График в) пересекает ось $y$ в точке $(0, 3)$, значит, $q = 3$.
Вершина параболы находится в точке с координатами $(-1, 2)$. Абсцисса вершины $x_в = -1$.
Из формулы $x_в = -p/2$ получаем: $-1 = -p/2$, откуда $p = 2$.
Проверим, подставив найденные значения $p$ и $q$ в уравнение функции и вычислив координаты вершины. Уравнение: $y = x^2 + 2x + 3$. Абсцисса вершины: $x_в = -2/2 = -1$. Ордината вершины: $y_в = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Координаты вершины $(-1, 2)$ соответствуют изображению на графике.
Ответ: $p = 2, q = 3$.

4) на рисунке 26, г
Из графика г) видно, что парабола пересекает ось $y$ в точке $(0, -1)$, следовательно, $q = -1$.
Ордината вершины параболы, как видно из графика, равна $y_в = -2$. Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ связаны с коэффициентами уравнения. Подставим координаты вершины в уравнение функции: $y_в = x_в^2 + px_в + q$.
Также мы знаем, что $x_в = -p/2$. Подставим это в предыдущее равенство:
$y_в = (-p/2)^2 + p(-p/2) + q = p^2/4 - p^2/2 + q = -p^2/4 + q$.
Теперь подставим известные числовые значения $y_в = -2$ и $q = -1$:
$-2 = -p^2/4 - 1$
$-1 = -p^2/4$
$p^2 = 4$
Отсюда $p = 2$ или $p = -2$.
Чтобы выбрать правильное значение $p$, посмотрим на расположение вершины на графике. Вершина находится в левой полуплоскости, это означает, что её абсцисса $x_в$ отрицательна: $x_в < 0$.
Проверим оба варианта для $p$:
1. Если $p = 2$, то $x_в = -2/2 = -1$. Это значение $x_в < 0$, что соответствует графику.
2. Если $p = -2$, то $x_в = -(-2)/2 = 1$. Это значение $x_в > 0$, что не соответствует графику.
Следовательно, верное значение $p = 2$.
Ответ: $p = 2, q = -1$.

146. Число 8 представить в виде суммы двух таких чисел, произведение которых наибольшее.

Пусть искомые числа – это $x$ и $y$.

Согласно условию задачи, их сумма равна 8, что можно записать в виде уравнения: $x + y = 8$

Необходимо найти такие значения $x$ и $y$, при которых их произведение $P = x \cdot y$ будет наибольшим.

Для решения этой задачи оптимизации выразим одну переменную через другую из первого уравнения: $y = 8 - x$

Теперь подставим это выражение в формулу для произведения, чтобы получить функцию одной переменной $x$: $P(x) = x \cdot (8 - x) = 8x - x^2$

Задача сводится к нахождению максимума функции $P(x) = -x^2 + 8x$. Для этого найдем ее производную и приравняем ее к нулю. $P'(x) = (8x - x^2)' = 8 - 2x$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических (стационарных) точек: $8 - 2x = 0$ $2x = 8$ $x = 4$

Чтобы определить, является ли найденная точка точкой максимума, найдем вторую производную: $P''(x) = (8 - 2x)' = -2$

Поскольку вторая производная $P''(x) = -2$ отрицательна, точка $x=4$ является точкой локального максимума. Так как функция $P(x)$ является параболой с ветвями вниз, этот максимум является также и глобальным (наибольшим значением функции).

Теперь, когда мы нашли одно число, найдем второе: $y = 8 - x = 8 - 4 = 4$

Следовательно, искомые числа, сумма которых равна 8, а произведение максимально, это 4 и 4.

Ответ: 4 и 4.

147. Найти длины сторон прямоугольника с наибольшей площадью, периметр которого 28 см.

Обозначим длины сторон прямоугольника как $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ определяется формулой $P = 2(a + b)$. Согласно условию задачи, периметр равен 28 см.

$2(a + b) = 28$

Разделив обе части уравнения на 2, получим:

$a + b = 14$

Из этого соотношения мы можем выразить одну сторону через другую, например, $b = 14 - a$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Нам необходимо максимизировать эту величину. Подставим выражение для $b$ в формулу площади, чтобы получить функцию площади, зависящую только от одной переменной $a$:

$S(a) = a \cdot (14 - a) = 14a - a^2$

Функция $S(a) = -a^2 + 14a$ является квадратичной. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицателен (равен -1). Максимальное значение такой функции достигается в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы, заданной уравнением $y = kx^2 + lx + m$, можно найти по формуле $x_0 = -l / (2k)$. В нашем случае переменная — $a$, коэффициенты: $k = -1$, $l = 14$.

Найдем значение $a$, при котором площадь $S$ будет максимальной:

$a = - \frac{14}{2 \cdot (-1)} = - \frac{14}{-2} = 7$ см.

Теперь найдем длину второй стороны $b$:

$b = 14 - a = 14 - 7 = 7$ см.

Следовательно, прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре является квадратом.

Ответ: длины сторон прямоугольника равны 7 см и 7 см.