Номер 138, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Колягин, Ткачева

138. Построить график функции:

1) $y = x^2 + 3;$

2) $y = (x + 3)^2;$

3) $y = x^2 - 6x + 9;$

4) $y = x^2 + x + \frac{1}{4};$

5) $y = x^2 + 2x;$

6) $y = x^2 - 2x;$

7) $y = (x - 3)(x + 1);$

8) $y = (x - 1)(x + 5);$

9) $y = x^2 + 3x - 4;$

10) $y = x^2 - 3x - 4.$

1) y = x² + 3;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a=1$), что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы. Функция представлена в виде $y = ax^2 + c$. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 3 единицы вверх по оси Oy. Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке $(0,0)$, следовательно, вершина параболы $y = x^2 + 3$ находится в точке $(0, 3)$.
Можно также найти вершину по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. В данном случае $b=0$, поэтому $x_v = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.
$y_v = 0^2 + 3 = 3$. Координаты вершины: $(0, 3)$.
3. Ось симметрии. Проходит через вершину параболы параллельно оси Oy. Уравнение оси симметрии: $x = 0$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = 0^2 + 3 = 3$. Точка пересечения $(0, 3)$.
- С осью Ox: $y=0$, $x^2 + 3 = 0$, $x^2 = -3$. Действительных корней нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Значит, график не пересекает ось Ox.
5. Дополнительные точки. Возьмем точки, симметричные относительно оси симметрии $x=0$.
При $x=1$, $y = 1^2 + 3 = 4$. Точка $(1, 4)$.
При $x=-1$, $y = (-1)^2 + 3 = 4$. Точка $(-1, 4)$.
При $x=2$, $y = 2^2 + 3 = 7$. Точка $(2, 7)$.
При $x=-2$, $y = (-2)^2 + 3 = 7$. Точка $(-2, 7)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(0, 3)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=0$. График проходит через точки $(-1, 4)$, $(1, 4)$, $(-2, 7)$, $(2, 7)$.

2) y = (x + 3)²;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Направление ветвей. Раскроем скобки: $y = x^2 + 6x + 9$. Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a=1$), ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы. Функция представлена в виде $y = a(x-h)^2 + k$. В нашем случае $y = (x - (-3))^2 + 0$. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 3 единицы влево по оси Ox. Вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$.
3. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = -3$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = (0+3)^2 = 9$. Точка пересечения $(0, 9)$.
- С осью Ox: $y=0$, $(x+3)^2 = 0$, $x+3=0$, $x=-3$. Точка пересечения $(-3, 0)$, которая является вершиной параболы.
5. Дополнительные точки.
При $x=-2$, $y = (-2+3)^2 = 1^2 = 1$. Точка $(-2, 1)$.
При $x=-4$, $y = (-4+3)^2 = (-1)^2 = 1$. Точка $(-4, 1)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-3, 0)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=-3$. График пересекает ось Oy в точке $(0, 9)$.

3) y = x² - 6x + 9;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Преобразование формулы. Заметим, что выражение $x^2 - 6x + 9$ является полным квадратом: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$. Таким образом, функция имеет вид $y = (x-3)^2$.
2. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви параболы направлены вверх.
3. Вершина параболы. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 3 единицы вправо по оси Ox. Вершина находится в точке $(3, 0)$.
4. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = 3$.
5. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = (0-3)^2 = 9$. Точка пересечения $(0, 9)$.
- С осью Ox: $y=0$, $(x-3)^2 = 0$, $x=3$. Точка пересечения $(3, 0)$, которая является вершиной.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(3, 0)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=3$. График пересекает ось Oy в точке $(0, 9)$.

4) y = x² + x + 1/4;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Преобразование формулы. Выражение $x^2 + x + \frac{1}{4}$ является полным квадратом: $x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = (x+\frac{1}{2})^2$. Таким образом, функция имеет вид $y = (x+\frac{1}{2})^2$.
2. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви параболы направлены вверх.
3. Вершина параболы. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на $\frac{1}{2}$ единицы влево по оси Ox. Вершина находится в точке $(-\frac{1}{2}, 0)$.
4. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = -\frac{1}{2}$.
5. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = (0+\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Точка пересечения $(0, \frac{1}{4})$.
- С осью Ox: $y=0$, $(x+\frac{1}{2})^2 = 0$, $x=-\frac{1}{2}$. Точка пересечения $(-\frac{1}{2}, 0)$, которая является вершиной.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-\frac{1}{2}, 0)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=-\frac{1}{2}$. График пересекает ось Oy в точке $(0, \frac{1}{4})$.

5) y = x² + 2x;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви направлены вверх.
2. Вершина параболы. Найдем координаты вершины по формулам $x_v = -\frac{b}{2a}$, $y_v = y(x_v)$.
$a=1, b=2, c=0$.
$x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$.
Вершина находится в точке $(-1, -1)$.
3. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = -1$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = 0^2 + 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
- С осью Ox: $y=0$, $x^2 + 2x = 0$, $x(x+2) = 0$. Корни $x_1=0$, $x_2=-2$. Точки пересечения $(0, 0)$ и $(-2, 0)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-1, -1)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=-1$. График пересекает оси координат в точках $(0, 0)$ и $(-2, 0)$.

6) y = x² - 2x;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви направлены вверх.
2. Вершина параболы. $a=1, b=-2, c=0$.
$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_v = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.
Вершина находится в точке $(1, -1)$.
3. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = 1$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = 0^2 - 2 \cdot 0 = 0$. Точка пересечения $(0, 0)$.
- С осью Ox: $y=0$, $x^2 - 2x = 0$, $x(x-2) = 0$. Корни $x_1=0$, $x_2=2$. Точки пересечения $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1, -1)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=1$. График пересекает оси координат в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

7) y = (x - 3)(x + 1);

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Преобразование формулы. Раскроем скобки: $y = x^2 + x - 3x - 3 = x^2 - 2x - 3$.
2. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви направлены вверх.
3. Точки пересечения с осью Ox (нули функции). Из исходного вида $y=(x-3)(x+1)$ видно, что $y=0$ при $x-3=0$ или $x+1=0$.
Корни $x_1=3$, $x_2=-1$. Точки пересечения с осью Ox: $(3, 0)$ и $(-1, 0)$.
4. Вершина параболы. Абсцисса вершины находится посередине между корнями:
$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$y_v = (1 - 3)(1 + 1) = (-2)(2) = -4$.
Вершина находится в точке $(1, -4)$.
5. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = 1$.
6. Точка пересечения с осью Oy. $x=0$, $y = (0-3)(0+1) = -3$. Точка пересечения $(0, -3)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1, -4)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=1$. График пересекает ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(3, 0)$ и ось Oy в точке $(0, -3)$.

8) y = (x - 1)(x + 5);

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Преобразование формулы. $y = x^2 + 5x - x - 5 = x^2 + 4x - 5$.
2. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви направлены вверх.
3. Точки пересечения с осью Ox. Из $y=(x-1)(x+5)$ следует, что $y=0$ при $x=1$ или $x=-5$.
Точки пересечения с осью Ox: $(1, 0)$ и $(-5, 0)$.
4. Вершина параболы.
$x_v = \frac{1 + (-5)}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.
$y_v = (-2 - 1)(-2 + 5) = (-3)(3) = -9$.
Вершина находится в точке $(-2, -9)$.
5. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = -2$.
6. Точка пересечения с осью Oy. $x=0$, $y = (0-1)(0+5) = -5$. Точка пересечения $(0, -5)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-2, -9)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=-2$. График пересекает ось Ox в точках $(-5, 0)$ и $(1, 0)$ и ось Oy в точке $(0, -5)$.

9) y = x² + 3x - 4;

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви направлены вверх.
2. Вершина параболы. $a=1, b=3, c=-4$.
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$.
$y_v = (-1.5)^2 + 3(-1.5) - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25$.
Вершина находится в точке $(-1.5, -6.25)$.
3. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = -1.5$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = -4$. Точка пересечения $(0, -4)$.
- С осью Ox: $y=0$, $x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1=-4$, $x_2=1$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-4, 0)$ и $(1, 0)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-1.5, -6.25)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=-1.5$. График пересекает ось Ox в точках $(-4, 0)$ и $(1, 0)$ и ось Oy в точке $(0, -4)$.

10) y = x² - 3x - 4.

Данная функция является квадратичной, ее график — парабола.
1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен 1, ветви направлены вверх.
2. Вершина параболы. $a=1, b=-3, c=-4$.
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$.
$y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) - 4 = 2.25 - 4.5 - 4 = -6.25$.
Вершина находится в точке $(1.5, -6.25)$.
3. Ось симметрии. Уравнение оси симметрии: $x = 1.5$.
4. Точки пересечения с осями координат.
- С осью Oy: $x=0$, $y = -4$. Точка пересечения $(0, -4)$.
- С осью Ox: $y=0$, $x^2 - 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1=4$, $x_2=-1$.
Точки пересечения с осью Ox: $(4, 0)$ и $(-1, 0)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(1.5, -6.25)$, ветви которой направлены вверх. Ось симметрии — $x=1.5$. График пересекает ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(4, 0)$ и ось Oy в точке $(0, -4)$.